Question

(HIPERBOLE)
Funkcja f dana jest wzorem: f(x) = 4 + 3/x-5
Określ / oblicz:
-Punkty przecięcia z osiami
-Wierzchołki hiperboli

Jest to całe zadanie

Answer 1

[tex]f(x)=4+\frac{3}{x-5}\\D_f=\mathbb{R}-\{5\}[/tex]

Punkt przecięcia z osią OX:

[tex]f(x)=0\\4+\frac{3}{x-5}=0\\\frac{3}{x-5}=-4\ |*(x-5)\\3=-4x+20\\4x=17\ |:4\\x=4\frac{1}{4}\\(4\frac{1}{4},0)[/tex]

Punkt przecięcia z osią OY:

[tex]f(0)=4+\frac{3}{0-5}=4+\frac{3}{-5}=4-\frac{3}{5}=3\frac{2}{5}\\(0,3\frac{2}{5})[/tex]

Wierzchołki hiperboli:

Osie symetrii hiperboli są postaci:

[tex]y=-x+b\qquad\vee\qquad y=x+b[/tex]

Wierzchołki paraboli leżą na tej drugiej osi symetrii. Znajdźmy jej równanie, wiedząc, że przechodzi ona przez środek symetrii hiperboli, czyli punkt [tex](5,4)[/tex]. Współrzędne tego punktu odczytuje się bezpośrednio ze wzoru funkcji f(x).

[tex]y=x+b\\4=5+b\\b=-1\\y=x-1[/tex]

Znajdźmy punkty wspólne hiperboli i osi symetrii.

[tex]\left \{ {{y=4+\frac{3}{x-5}} \atop {y=x-1}} \right. \\\left \{ {{x-1=4+\frac{3}{x-5}\ |*(x-5)} \atop {y=x-1}} \right. \\\left \{ {{(x-1)(x-5)=4(x-5)+3} \atop {y=x-1}} \right. \\\left \{ {x^2-5x-x+5=4x-20+3} \atop {y=x-1}} \right. \\\left \{ {x^2-10x+22=0} \atop {y=x-1}} \right. \\\Delta=(-10)^2-4*1*22=100-88=12\\\sqrt\Delta=\sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt3\\x_1=\frac{10-2\sqrt3}{2}=5-\sqrt3\\x_2=\frac{10+2\sqrt3}{2}=5+\sqrt3[/tex]

[tex]\left \{ {{x=5-\sqrt3} \atop {y=5-\sqrt3-1}} \right. \ \vee\ \left \{ {{x=5+\sqrt3} \atop {y=5+\sqrt3-1}} \right.\\\left \{ {{x=5-\sqrt3} \atop {y=4-\sqrt3}} \right. \ \vee\ \left \{ {{x=5+\sqrt3} \atop {y=4+\sqrt3}} \right.\\(5-\sqrt3,4-\sqrt3)\ \vee\ (5+\sqrt3,4+\sqrt3)[/tex]