Question

Oblicz Pole Całkowite i objętość graniastosłupa przedstawionego na rysunku.
Potrzebuje na dzisiaj z OBLICZENIAMI DAJE NAJ

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|ll}a)&P_c=774m^2,&V=1377m^3\\b)&P_c=(162\sqrt3+1350)cm^2,&V=2025\sqrt3cm^3\\c)&P_c=(768\sqrt3+1920)m^2,&V=7680\sqrt3m^3\end{array}}[/tex]

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa prostego, w którego podstawie znajduje się wielokąt foremny, czyli taki, który ma wszystkie kąty równej miary i wszystkie boki równej długości.

Przykładami wielokątów foremnych jest:

• trójkąt równoboczny
• kwadrat
• pięciokąt foremny
• sześciokąt foremny.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wyraża się sumą pól wszystkich jego ścian.

[tex]\huge\boxed{P_c=2P_p+P_b}[/tex]

gdzie:

• [tex]P_p[/tex] - pole jednej podstawy
• [tex]P_b[/tex] - pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

Objętość graniastosłupa wyraża się iloczynem pola jego podstawy i wysokości bryły.

[tex]\huge\boxed{V=P_p\cdot H}[/tex]

Rozwiązanie:

a)

Na rysunku przestawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. W podstawie znajduje się kwadrat o boku 9m, a krawędź boczna graniastosłupa (wysokość) ma długość 17m.

[tex]a=9m\\H=17m[/tex]

Wyznaczamy pole podstawy:

[tex]P_p=a^2 \Rightarrow P_p=(9m)^2 \to \underline{\bold{P_p=81m^2}}[/tex]

Powierzchnia boczna graniastosłupa składa się z czterech prostokątów o wymiarach 9m na 17m.

[tex]P_b=4aH \Rightarrow P_b=4\cdot 9m\cdot 17m \rightarrow \underline{\bold{P_b=612m^2}}[/tex]

Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej:

[tex]P_c=2P_p+P_b \Rightarrow P_c=2\cdot 81m^2+612m^2 \rightarrow \boxed{P_c=774m^2}[/tex]

Wyznaczamy objętość:

[tex]V=P_p\cdot H \Rightarrow V=81m^2\cdot 17m \rightarrow \boxed{V=1377m^3}[/tex]

b)

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny. W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o boku 18cm, a krawędź boczna graniastosłupa (wysokość) ma długość 25cm.

[tex]a=18cm\\H=25cm[/tex]

Wyznaczamy pole podstawy korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:

[tex]P_p=\dfrac{a^2\sqrt3}4 \Rightarrow P_p=\dfrac{(18cm)^2\sqrt3}4 \rightarrow \underline{\bold{P_p=81\sqrt3cm^2}}[/tex]

Powierzchnia boczna graniastosłupa składa się z trzech prostokątów o wymiarach 18cm na 25cm.

[tex]P_b=3aH \Rightarrow P_b=3\cdot 18cm\cdot 25cm \rightarrow \underline{\bold{P_b=1350cm^2}}[/tex]

Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej:

[tex]P_c=2P_p+P_b \Rightarrow P_c=2\cdot 81\sqrt3cm^2+1350cm^2 \rightarrow \boxed{P_c=(162\sqrt3+1350)cm^2}[/tex]

Wyznaczamy objętość:

[tex]V=P_p\cdot H \Rightarrow V=81\sqrt3cm^2\cdot 25cm\rightarrow \boxed{V=2025\sqrt3cm^3}[/tex]

c)

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. W podstawie znajduje się sześciokąt foremny o boku 16m, a wysokość graniastosłupa mierzy 20m.

[tex]a=16m\\H=20m[/tex]

Należy zauważyć, że sześciokąt foremny składa się z sześciu jednakowych trójkątów równobocznych. Obliczamy pole podstawy korzystając z powyższej informacji oraz ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:

[tex]P_p=6\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}4 \rightarrow P_p=\dfrac{3a^2\sqrt3}2 \Rightarrow P_p=\dfrac{3\cdot (16m)^2\sqrt3}2=\underline{\bold{384\sqrt3m^2}}[/tex]

Powierzchnia boczna graniastosłupa składa się z sześciu prostokątów o wymiarach 16m na 20m:

[tex]P_b=6aH \Rightarrow P_b=6\cdot 16m\cdot 20m\rightarrow \underline{\bold{P_b=1920m^2}}[/tex]

Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej:

[tex]P_c=2P_p+P_b \Rightarrow P_c=2\cdot 384\sqrt3m^2+1920m^2 \rightarrow \boxed{P_c=(768\sqrt3+1920)m^2}[/tex]

Wyznaczamy objętość:

[tex]V=P_p\cdot H\Rightarrow V=384\sqrt3m^2\cdot 20m \rightarrow \boxed{V=7680\sqrt3m^3}[/tex]