Rozwiązywanie nierówności z niewiadomą polega na wyznaczeniu takich wartości niewiadomej x, dla których nierówność będzie spełniona.
Wykonujemy wszystkie potęgowania, mnożenia i dzielenia.
Przenosimy niewiadome na jedną stronę znaku nierówności, a wiadome na drugą stronę i redukujemy wyrazy podobne.
Pozbywamy się liczby stojącej przy niewiadomej przy pomocy dzielenia obustronnego, pamiętając przy tym o zmianie znaku nierówności na przeciwny jeżeli dzielimy przez liczbę ujemną.
Do rozwiązania nierówności posłużymy się wzorami skróconego mnożenia:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ll}a)&x\in\left(-\infty; -2\dfrac14\right\rangle\\\\d)&x\in(0; 1,5)\\\\e)&x\in(-5; 2\rangle\end{array}}[/tex]
Rozwiązywanie nierówności
Rozwiązywanie nierówności z niewiadomą polega na wyznaczeniu takich wartości niewiadomej x, dla których nierówność będzie spełniona.
Do rozwiązania nierówności posłużymy się wzorami skróconego mnożenia:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\end{array}}[/tex]
Rozwiązaniem układu nierówności jest część wspólna zbiorów rozwiązań poszczególnych nierówności w tym układzie.
Aby prawidłowo zaznaczyć rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętamy, że:
a)
[tex]\begin{array}{lll}4\underbrace{(x-3)^2}_{(a-b)^2}-\underbrace{(2x-5)^2}_{(a-b)^2}\geq 2\\\\4(x^2-6x+9)-(4x^2-20x+25)\geq 2\\\\4x^2\!\!\!\!\!\!\!\diagup-24x+36-4x^2\!\!\!\!\!\!\!\diagup+20x-25\geq 2\\\\-4x+11\geq 2&|&-11\\\\-4x\geq -9&|&:(-4)\\\\x\leq \dfrac94\\\\x\leq 2\dfrac14\\\\\boxed{\bold{x\in\left(-\infty; 2\dfrac14\right\rangle}}\end{array}[/tex]
d)
[tex]\left\{\begin{array}{lll}\underbrace{(x+1)^2}_{(a+b)^2} > x^2+1\\\\\underbrace{(x-1)^2}_{(a-b)^2} < \underbrace{(2-x)^2}_{(a-b)^2}\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}x^2\!\!\!\!\!\!\diagup+2x+1 > x^2\!\!\!\!\!\!\diagup+1&|&-1\\\\x^2\!\!\!\!\!\!\diagup-2x+1 < 4-4x+x^2\!\!\!\!\!\!\diagup&|&+4x-1\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}2x > 0&|&:2\\\\-2x+4x < 4-1\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}x > 0\\\\2x < 3&|&:2\end{array}\right.\\\\\\[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{lll}x > 0\\\\x < \dfrac32\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}x > 0\\\\x < 1,5\end{array}\right.[/tex]
Rozwiązaniem układu nierówności jest część wspólna rozwiązań poszczególnych nierówności, stąd:
[tex]\boxed{\bold{x\in(0; 1,5)}}[/tex]
e)
[tex]\left\{\begin{array}{lll}\dfrac{x-3}{4} < \dfrac{x+1}2&|&\cdot 4\\\\\underbrace{(2x-3)^2}_{(a-b)^2}\leq \underbrace{(5-2x)^2}_{(a-b)^2}\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}x-3 < 2(x+1)\\\\4x^2\!\!\!\!\!\!\diagup-12x+9\leq 25-20x+4x^2\!\!\!\!\!\!\diagup\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}x-3 < 2x+2&|&-2x+3\\\\-12x+9\leq 25-20x&|&+20x-9\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}x-2x < 2+3\\\\-12x+20x\leq 25-9\end{array}\right.\\[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{lll}-x < 5&|&:(-1)\\\\8x\leq 16&|&:8\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}x > -5\\\\x\leq 2\end{array}\right.[/tex]
Rozwiązaniem układu nierówności jest część wspólna rozwiązań poszczególnych nierówności, stąd:
[tex]\boxed{\bold{x\in(-5; 2\rangle}}[/tex]