Question

Oblicz jakie wymiary ma prostokąt o największym polu, którego suma długości dwóch boków wychodzących z tego samego wierzchołka wynosi 16. (Podpowiedź: skorzystaj z wartości największej, najmniejszej funkcji kwadratowej)

Odpowiedź i obliczenia, dzięki!

Answer 1

Prostokąt o największym polu ma wymiary 8x8, czyli jest kwadratem o boku długości 8.

Jak obliczyć wymiary prostokąta o największym polu?

Tego typu zadania należą do tzw. zadań optymalizacyjnych. W tych zadaniach dążymy do zapisania jakiejś zależności funkcją kwadratową, aby z niej obliczyć "p", czyli (w zależności od ramion funkcji) wartość największą lub najmniejszą. Wzór na "p", czyli również na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli jest następujący:

[tex]p=\frac{-b}{2a}[/tex]

gdzie:

b - współrzędna stojąca przy "x",

a - współrzędna stojąca przy "x²".

Oznaczmy jako "y" jeden z boków prostokąta, a literką "x" drugi bok tego prostokąta. Wiemy, że suma długości dwóch boków wychodzących z tego samego wierzchołka (czyli "x" i "y") jest równa 16. Zapiszmy to:

x + y = 16

W zadaniu mamy obliczyć największe pole tego prostokąta. Wzór na pole prostokąta przy naszych oznaczeniach to:

P = x × y

Wyliczmy którąś z niewiadomych z pierwszego równania (np. y) i podstawmy ją w drugim równaniu:

x + y = 16

y = 16 - x

P = x × y

P = x × (16 - x)

P = 16x - x²

Teraz aby obliczyć wartość największą musimy policzyć "p":

[tex]p=\frac{-b}{2a}\\\\p=\frac{-16}{-2}\\\\p=8[/tex]

Funkcja przyjmuje wartość największą dla x = 8. Wiemy, że jeden z boków ma długość 8. Obliczmy "y", czyli długość drugiego boku:

x + y = 16

8 + y = 16

y = 8

Wniosek: Aby pole prostokąta było największe musi on mieć wymiary 8 na 8, czyli tak naprawdę być kwadratem o boku 8.

#SPJ1