w liczniku i mianowniku mamy równe największe wykładniki, to granicą takiego ciągu będzie iloraz współczynników przy tych potęgach;
w liczniku największy wykładnik jest większy niż największy wykładnik w mianowniku, to granica jest niewłaściwa ±∞ (obiera znak współczynnika przy największej potędze w liczniku;
w liczniku największy wykładnik jest mniejszy niż największy wykładnik w mianowniku, to granica jest równa 0.
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ccc}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+3n-5}{1-2n-n^2}=-2\\\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-3n+1}{n\sqrt{n}-3n+7}=\infty\\\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(\sqrt{n}+1\right)^3}{4n^2-3n+12}=0\\\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(2n+1\right)^6}{\left(n^2+3\right)^3}=64\\\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+2}{\sqrt{5n^2-2n-17}}=\dfrac{\sqrt5}{5}\end{array}}[/tex]
Granice ciągów.
Takie granice obliczamy wyłączając największą potęgę z mianownika przed nawias.
W rozwiązaniu skorzystamy z granic:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0\\\\\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a}{n^k}=0\ \text{dla}\ a\in\mathbb{R}\ \wedge\ k > 0[/tex]
Skorzystamy również z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:
[tex]\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\qquad a\geq0[/tex]
działań na potęgach:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n\cdot m}\\\\(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n[/tex]
i wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+3n-5}{1-2n-n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2\!\!\!\!\!\!\diagup\left(2+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}\right)}{n^2\!\!\!\!\!\!\diagup\left(\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n}-1\right)}[/tex]
Na podstawie granic mamy:
[tex]\dfrac{3}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\-\dfrac{5}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\-\dfrac{2}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
stąd
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+3n-5}{1-2n-n^2}=\dfrac{2}{-1}=-2}[/tex]
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-3n+1}{n\sqrt{n}-3n+7}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-3n+1}{n\cdot n^{\frac{1}{2}}-3n+7}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-3n+1}{n^{\frac{3}{2}}-3n+7}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^{\frac{3}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\diagup\left(n^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{n^\frac{1}{2}}+\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)}{n^{\frac{3}{2}}\!\!\!\!\!\!\diagup\left(1-\frac{3}{n^{\frac{1}{2}}}+\frac{7}{n^{\frac{3}{2}}}\right)}[/tex]
Na podstawie granic mamy:
[tex]-\dfrac{3}{n^{\frac{1}{2}}}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\-\dfrac{3}{n^{\frac{1}{2}}}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{7}{n^{\frac{3}{2}}}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
stąd
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-3n+1}{n\sqrt{n}-3n+7}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^{\frac{1}{2}}}{1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}=\infty}[/tex]
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(\sqrt{n}+1\right)^3}{4n^2-3n+12}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(\sqrt{n}\right)^3+3\cdot\left(\sqrt{n}\right)^2\cdot1+3\cdot\sqrt{n}\cdot1^2+1^3}{4n^2-3n+12}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\sqrt{n}+3n+3\sqrt{n}+1}{4n^2-3n+12}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\cdot n^\frac{1}{2}+3n+3n^{\frac{1}{2}}+1}{4n^2-3n+12}[/tex]
[tex]=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^{\frac{3}{2}}+3n+3n^{\frac{1}{2}}+1}{4n^2-3n+12}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2\!\!\!\!\!\!\diagup\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\!\!\!\!\!\!\diagup\left(4-\frac{3}{n}+\frac{12}{n^2}\right)}[/tex]
Na podstawie granic mamy:
[tex]\dfrac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{3}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{3}{n^{\frac{3}{2}}}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\-\dfrac{3}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{12}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
stąd
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(\sqrt{n}+1\right)^3}{4n^2-3n+12}=\dfrac{0}{4}=0}[/tex]
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(2n+1\right)^6}{\left(n^2+3\right)^3}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left[n\left(2+\frac{1}{n}\right)\right]^6}{\left[n^2\left(1+\frac{3}{n^2}\right)\right]^3}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^6\left(2+\frac{1}{n}\right)^6}{\left(n^2\right)^3\left(1+\frac{3}{n^2}\right)^3}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^6\!\!\!\!\!\!\diagup\left(2+\frac{1}{n}\right)^6}{n^6\!\!\!\!\!\!\diagup\left(1+\frac{3}{n^2}\right)^3}[/tex]
Na podstawie granic mamy:
[tex]\dfrac{1}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{3}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
stąd
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(2n+1\right)^6}{\left(n^2+3\right)^3}=\dfrac{2^6}{1^3}=64}[/tex]
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+2}{\sqrt{5n^2-2n-17}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+2}{\sqrt{n^2\left(5-\frac{2}{n}-\frac{17}{n^2}\right)}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+2}{\sqrt{n^2}\cdot\sqrt{5-\frac{2}{n}-\frac{17}{n^2}}}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\!\!\!\!\diagup\left(1+\frac{2}{n}\right)}{n\!\!\!\!\diagup\sqrt{5-\frac{2}{n}-\frac{17}{n^2}}}[/tex]
Na podstawie granic mamy:
[tex]\dfrac{2}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\-\dfrac{2}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\-\dfrac{17}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
stąd
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+2}{\sqrt{5n^2-2n-17}}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}}[/tex]
WNIOSEK:
Można zauważyć, że jeżeli