Question

Oblicz długości przekątnych narysowanego graniastosłupa prostego Jeżeli dane są długości przekątnych jego podstawy oraz wysokość (zdjęcie w załączniku)






Ale proszę o jakieś wyjaśnienie dlaczego tak, a nie inaczej:> dam naj oczywiście

Answer 1

Przekątna graniastosłupa

to odcinek łączący jego dwa wierzchołki, które:

• nie są odpowiadającymi sobie wierzchołkami podstaw (odcinek nie jest krawędzią boczną),
• nie należą do jednej ściany graniastosłupa (odcinek nie jest przekątną podstawy, ani ściany bocznej).

W graniastosłupie prostym krawędź boczna jest prostopadła do podstawy (jest wysokością graniastosłupa).

Czyli jest prostopadła również do przekątnej podstawy.

Zatem trójkąt utworzony przez przekątną (D) graniastosłupa, wychodzącą z tego samego wierzchołka przekątną (d) podstawy i krawędź boczną (b) łączącą drugie końce tych przekątnych jest trójkątem prostokątnym.

Co oznacza, że znając długość przekątnej (d) podstawy i wysokości (h) graniastosłupa prostego, możemy obliczyć długość przekątnej (D) tego graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:

                    [tex]d^2+h^2=D^2[/tex]

a)

    [tex]d_1=4\\d_2=6\\h=6[/tex]

Czyli:

       [tex]d_1^2+h^2=D^2_1[/tex]          i           [tex]d_2^2+h^2=D^2_2[/tex]

        [tex]4^2+6^2=D_1^2\\\\D_1^2=16+36\\\\D_1^2=52 = 4\cdot13\\\\ D_1=\sqrt{4\cdot13}\\\\D_1=2\sqrt{13}[/tex]                [tex]6^2+6^2=D_2^2\\\\D_2^2=36+36\\\\D_2^2= 36\cdot2\\\\ D_2=\sqrt{36\cdot2} \\\\ D_2=6\sqrt{2}[/tex]

b)

    [tex]d_1=8\\d_2=10\\h=8[/tex]

Czyli:

       [tex]d_1^2+h^2=D^2_1[/tex]          i           [tex]d_2^2+h^2=D^2_2[/tex]

        [tex]8^2+8^2=D_1^2\\\\D_1^2=64+64\\\\D_1^2=64\cdot2\\\\ D_1=\sqrt{64\cdot2}\\\\D_1=8\sqrt{2}[/tex]                    [tex]10^2+8^2=D_2^2\\\\D_2^2=100+64\\\\D_2^2=164=4\cdot41\\\\ D_2=\sqrt{4\cdot41}\\\\D_2=2\sqrt{41}[/tex]  

c)

    [tex]d_1=12\\d_2=9\\h=10[/tex]

Czyli:

         [tex]d_1^2+h^2=D^2_1[/tex]          i           [tex]d_2^2+h^2=D^2_2[/tex]

        [tex]12^2+10^2=D_1^2\\\\D_1^2=144+100\\\\D_1^2=244=4\cdot61\\\\D_1=2\sqrt{61}[/tex]                  [tex]9^2+10^2=D_2^2\\\\D_2^2=81+100\\\\D_2^2=181\\\\D_2=\sqrt{181}[/tex]

d)

    [tex]d_1=9\\d_2=11\\h=5[/tex]

Czyli:

      [tex]d_1^2+h^2=D^2_1[/tex]          i          [tex]d_2^2+h^2=D^2_2[/tex]

        [tex]9^2+5^2=D_1^2\\\\D_1^2=81+25\\\\D_1^2=106\\\\D_1=\sqrt{106}[/tex]                  [tex]11^2+5^2=D_2^2\\\\D_2^2=121+25\\\\D_2^2=146\\\\D_2=\sqrt{146}[/tex]