Question

Oblicz długość najkrótszego boku, oraz długość środkowej opuszczonej na bok BC w trójkącie o wierzchołkach A(4, -3), B(7, -1), C(6, 13)

Answer 1

Odpowiedź:

Najpierw obliczymy długość najkrótszego boku trójkąta. Możemy to zrobić za pomocą twierdzenia o odległości między punktami na płaszczyźnie:

długość AB = sqrt((7-4)^2 + (-1-(-3))^2) = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(13)

długość BC = sqrt((6-7)^2 + (13-(-1))^2) = sqrt(1^2 + 14^2) = sqrt(197)

długość AC = sqrt((6-4)^2 + (13-(-3))^2) = sqrt(2^2 + 16^2) = sqrt(260)

Zauważmy, że najkrótszym bokiem jest AB o długości sqrt(13).

Teraz obliczymy długość środkowej opuszczonej na bok BC. Możemy to zrobić za pomocą wzoru:

długość środkowej = 2/3 * sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

gdzie s = (a+b+c)/2 to połowa obwodu trójkąta, a, b i c to długości boków.

W naszym przypadku:

s = (AB + BC + AC)/2 = (sqrt(13) + sqrt(197) + sqrt(260))/2

s-a = sqrt(s(s-b)(s-c))/sqrt(13)

s-b = 0 (ponieważ środkowa opuszczona na najkrótszy bok jest jednocześnie wysokością trójkąta)

s-c = sqrt(s(s-a)(s-b))/sqrt(197)

Stąd:

długość środkowej = 2/3 * sqrt(s(s-a)(s-c)) = 2/3 * sqrt((sqrt(13) + sqrt(197) + sqrt(260))/2 * sqrt((sqrt(s(s-b)(s-c))/sqrt(13)) * (sqrt(s(s-a)(s-b))/sqrt(197)))) = ok. 3,43.

Szczegółowe wyjaśnienie: