Question

Oblicz całki podwójne, oraz objętości

Answer 1

Odpowiedź:

Zadanie 1

[tex]$\frac{21}{2}-\mathrm{ln}\bigg(\frac{9765625}{1024}\bigg)\cong1,3371$[/tex]

Zadanie 2:

[tex]0[/tex]

Zadanie 3

[tex]$V=\frac{\pi\cdot(4\sqrt{2}+1) }{3} \cong6,971$[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Skrócę zapis przez pominięcie bardzo szczegółowych, żmudnych i niezwykle długich obliczeń. Przedstawiam za to pełen algorytm do każdego zadania.

Zadanie 1

Zaczynamy od opisania zbioru D:

[tex]$D=\{ (x; y)\in\mathbb{R}^2:-1\leq x\leq 2 \ \ \ \wedge \ \ \ x^2\leq y\leq x+2\}$[/tex]

Zapisujemy całkę:

[tex]$\int\limits^2_{-1} {\Bigg(\int\limits^{x+2}_{x^2} {\frac{1}{x+3} } \, \mathrm{d}y \Bigg)} \, \mathrm{d}x=\int\limits^2_{-1} {\Bigg(\frac{\big(x+1\big)\cdot\big(2-x\big)}{x+3} \Bigg)} \, \mathrm{d}x=\frac{21}{2}-\mathrm{ln}\bigg(\frac{9765625}{1024}\bigg)\cong1,3371$[/tex]

Zadanie 2

Na początku równanie koła sprowadzamy do "przyjemniejszej" postaci:

[tex]$x^2+(y-2)^2\leq 4$[/tex]

Zadanie wymaga przejścia na współrzędne biegunowe:

[tex]$x(r,\varphi)=r\cdot\mathrm{cos}(\varphi)$[/tex]

[tex]$y(r,\varphi)=r\cdot\mathrm{sin}(\varphi)+2$[/tex]

[tex]$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x(r,\varphi)}{\partial r} &\frac{\partial x(r,\varphi)}{\partial \varphi}\\\frac{\partial y(r,\varphi)}{\partial r}&\frac{\partial y(r,\varphi)}{\partial \varphi}\end{array}\right|=r$[/tex]

Nowy obszar całkowania możemy zapisać jako:

[tex]$\Delta=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2:0\leq r\leq 2 \ \ \ \wedge \ \ \ 0\leq \varphi\leq 2\pi\}$[/tex]

Nasza całka po podstawieniu:

[tex]$\int\limits^2_0 {\Bigg(\int\limits^{2\pi}_0 {\bigg(r\cdot\mathrm{cos}^3(\varphi)+r\cdot\mathrm{cos}(\varphi)\cdot\big( r\cdot\mathrm{sin}(\varphi)+2\big)\bigg)\cdot r} \, \mathrm{d}\varphi } \,\Bigg) \mathrm{d}r =$[/tex]

[tex]$=\int\limits^2_0 {\Bigg( {\bigg[2r^2\cdot\mathrm{sin}(\varphi)+\frac{3r^4\cdot\mathrm{sin}(\varphi)}{4}-\frac{r^3\cdot\mathrm{cos}(2\varphi)}{4}+\frac{r^4\cdot\mathrm{sin}(3\varphi)}{12}\bigg]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}} \,\Bigg) \mathrm{d}r =$[/tex]

[tex]$=\int\limits^2_0 {0} \ \mathrm{d}r =0$[/tex]

Zadanie 3

Definiujemy zbiór D:

[tex]$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$[/tex]

Zapisujemy całkę potrójną za pomocą całki podwójnej po obszarze D:

[tex]$\iiint_V\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint_D\Bigg(\int\limits^{\sqrt{1+x^2+y^2} }_{-1} \, \mathrm{d}z\Bigg)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_D \big(\sqrt{x^2+y^2+1}+1 \big)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$[/tex]

Przechodzimy na współrzędne biegunowe:

[tex]$x(r,\varphi)=r\cdot\mathrm{cos}(\varphi)$[/tex]

[tex]$y(r,\varphi)=r\cdot\mathrm{sin}(\varphi)$[/tex]

[tex]$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x(r,\varphi)}{\partial r} &\frac{\partial x(r,\varphi)}{\partial \varphi}\\\frac{\partial y(r,\varphi)}{\partial r}&\frac{\partial y(r,\varphi)}{\partial \varphi}\end{array}\right|=r$[/tex]

Nowy obszar całkowania zapisujemy jako:

[tex]$\Delta=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2:0\leq r\leq 1 \ \ \ \wedge \ \ \ 0\leq \varphi\leq 2\pi\}$[/tex]

Nasza całka po podstawieniu i wstępnym uproszczeniu funkcji podcałkowej:

[tex]$\int\limits^1_0 {\Bigg(\int\limits^{2\pi}_0 {\bigg(r\cdot \big(\sqrt{r^2+1})+1} \bigg)\, \mathrm{d}\varphi }\Bigg)\, \mathrm{d}r=2\pi\int\limits^1_0{\bigg(r\cdot \big(\sqrt{r^2+1})+1} }\bigg)\, \mathrm{d}r=$[/tex]

[tex]$=2\pi\bigg[\frac{r^2}{2}+\bigg(\frac{r^2}{3}+\frac{1}{3}\bigg)\cdot\sqrt{r^2+1}\bigg]_{r=0}^{r=1}=\frac{\pi\cdot(4\sqrt{2}+1) }{3} \cong6,971$[/tex]