Question

Oblicz całkę ze zdjęcia w załączniku

Answer 1

Proponuję całkować przez części (oczywiście całka jest nieoznaczona), mianowicie:

[tex]\int\limits sin~({ln~x}) \, dx =\int\limits 1*sin({ln~x}) dx =\int\limits{(x)'*sin(ln~x)} \, dx[/tex]

na tym etapie z powodzeniem zastosujemy wzór na całkowanie przez części:

[tex]x*sin(ln~x)-\int\limits{x*cos(ln~x)*\frac{1}{x} } \, dx =x*sin(ln~x)-\int\limits {cos(ln~x)} \, dx =x*sin(ln~x)-\int\limits {(x)'*cos(ln~x)} \, dx =x*sin(ln~x)-( {x*cos(ln~x)} -\int\limits {x*(-sin(ln~x))*\frac{1}{x}dx } \, )=x*sin(ln~x)-x*cos(lnx)-\int\limits {sin(ln~x)} \, dx[/tex]

dla przejrzystości zapiszemy, co notabene otrzymaliśmy:

[tex]\int\limits {sin~(ln~x)} \, dx = x*sin(ln~x)-x*cos(ln~x)-\int\limits {sin(ln~x)} \, dx[/tex]

teraz, proponuję dodać obustronnie całkę występującą po obu stronach:

[tex]2\int\limits {sin~(ln~x)} \, dx =x*sin(ln~x)-x*cos(ln~x)[/tex]

teraz podzielimy obustronnie przez 2, finalnie otrzymując:

[tex]\int\limits {sin~(ln~x)} \, dx =\frac{x*sin(ln~x)-x*cos(ln~x)}{2} +C[/tex]