Question

Oblicz całkę oznaczoną z funkcji f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 na przedziale od x = 1 do x = 4

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}\int\limits_{1}^{4}(x^3+2x^2-5x+7)dx=89\frac{1}{4}\end{array}[/tex]

Całka oznaczona.

Twierdzenia:

[tex]\int\left[f(x)+g(x)\right]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\\\\\int ax^n\ dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+C[/tex]

Aby obliczyć całkę oznaczoną należy na początku obliczyć całkę nieoznaczoną, a następnie obliczyć różnicę wartości funkcji pierwotnej w krańcach przedziału.

[tex]\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)[/tex]

ROZWIĄZANIE:

[tex]f(x)=x^3+2x^2-5x+7\\\\\int(x^3+2x^2-5x+7)dx=\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+7x+C[/tex]

Obliczamy różnicę wartości:

[tex]\int\limits_{1}^{4}(x^3+2x^2-5x+7)dx=\bigg[\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+7x\bigg]^4_1\\\\=\left(\dfrac{1}{4}\cdot4^4+\dfrac{2}{3}\cdot4^3-\dfrac{5}{2}\cdot4^2+7\cdot4\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot1^4+\dfrac{2}{3}\cdot1^3-\dfrac{5}{2}\cdot1^2+7\cdot1\right)\\\\=64+\dfrac{128}{3}-40+28-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{2}-7\\\\=45+42+4\dfrac{1}{4}\\\\=89\dfrac{1}{4}[/tex]