Question

Oblicz:
a) długość przekątnej kwadratu o polu
b) pole powierzchni sześcianu o objętości

Answer 1

Verified answer

Kwadrat - pole i przekątna. Sześcian - objętość i pole powierzchni całkowitej.

[tex]\huge\boxed{a)\ d=2^{\sqrt3-1}}\\\boxed{b)\ P_c=6^{\sqrt2}}[/tex]

ROZWIĄZANIA:

Przyjmujemy, że liczba 3 w obu przypadkach jest w wykładniku potęgi.

a)

Kwadrat o boku [tex]a[/tex]:

[tex]P=a^2\\\\d=a\sqrt2[/tex]

[tex]P[/tex] - pole kwadratu

[tex]d[/tex] - przekątna kwadratu

Podstawiamy:

[tex]a^2=2^{2\sqrt3-3}\to a=\sqrt{2^{2\sqrt3-3}}\\\\a=\left(2^{2\sqrt3-3}\right)^\frac{1}{2}\\\\a=2^{\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt3-3)}\\\\a=2^{\frac{2\sqrt3-3}{2}}[/tex]

Obliczamy przekątną:

[tex]d=2^{\frac{2\sqrt3-3}{2}}\cdot\sqrt2\\\\d=2^{\frac{2\sqrt3-3}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\\\\d=2^{\frac{2\sqrt3-3}{2}+\frac{1}{2}}\\\\d=2^{\frac{2\sqrt3-2}{2}}\\\\\boxed{d=2^{\sqrt3-1}}[/tex]

b)

Sześcian o krawędzi [tex]a[/tex]:

[tex]V=a^3\\\\P_c=6a^2[/tex]

[tex]V[/tex] - objętość

[tex]P_c[/tex] - pole powierzchni całkowitej

Podstawiamy:

[tex]a^3=\left(\sqrt6\right)^{\sqrt{18}-3}\\\\a^3=\left(6^{\frac{1}{2}}\right)^{\sqrt{9\cdot2}-3}\\\\a^3=6^{\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{9}\cdot\sqrt2-3\right)}\\\\a^3=6^{\frac{3\sqrt2-3}{2}}\to a=\sqrt[3]{6^{\frac{3\sqrt2-3}{2}}}\\\\a=\left(6^{\frac{3\sqrt2-3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\\\\a=6^{\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt2-3}{2}}\\\\a=6^{\frac{\sqrt2-1}{2}}[/tex]

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

[tex]P_c=6\cdot\left(6^{\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2=6\cdot6^{2\cdot\frac{\sqrt2-1}{2}}=6\cdot6^{\sqrt2-1}=6^1\cdot6^{\sqrt2-1}=6^{1+\sqrt2-1}=\boxed{6^{\sqrt2}}[/tex]

Gdyby liczba 3 w a) nie była w wykładniku:

[tex]a^2=2^{2\sqrt3}-3\to a=\sqrt{2^{2\sqrt3}-3}\\\\d=\sqrt{2^{2\sqrt3}-3}\cdot\sqrt2=\sqrt{2\left(2^{2\sqrt3}-3\right)}=\sqrt{2^1\cdot2^{2\sqrt3}-2\cdot3}\\\\=\sqrt{2^{1+2\sqrt3}-6[/tex]