Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 12√3 cm3 a wysokość 9 cm. Oblicz krawędź podstawy ostrosłupa. Proszę o rozwiązanie i podanie wzorów. Z góry dzięki!
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 12√3 cm3 a wysokość 9 cm. Oblicz krawędź podstawy ostrosłupa. Proszę o rozwiązanie i podanie wzorów. Z góry dzięki!
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 12√3 cm3 a wysokość 9 cm. Oblicz krawędź podstawy ostrosłupa. Proszę o rozwiązanie i podanie wzorów. Z góry dzięki!
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego można obliczyć ze wzoru V = 1/3 * P * H, gdzie P oznacza pole podstawy, a H oznacza wysokość ostrosłupa. Podstawiając dane z treści zadania, mamy:
12√3 cm³ = 1/3 * P * 9 cm
Po przekształceniu wzoru otrzymujemy:
P = (12√3 cm³ * 3) / (9 cm) = 4√3 cm²
Pole podstawy ostrosłupa to pole trójkąta równobocznego o boku a. Możemy obliczyć długość boku a, korzystając z wzoru na pole powierzchni trójkąta równobocznego:
P = (a² * √3) / 4
Podstawiając obliczone wcześniej pole podstawy P = 4√3 cm², mamy:
4√3 cm² = (a² * √3) / 4
Po przekształceniu wzoru otrzymujemy:
a² = (4√3 cm² * 4) / √3 = 16√3 cm²
Stąd krawędź podstawy ostrosłupa wynosi:
a = √(16√3 cm²) = 4√(3) cm
Odpowiedź: Krawędź podstawy ostrosłupa wynosi 4√(3) cm.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny składa się z trójkątnej podstawy oraz czterech trójkątnych ścian bocznych, które łączą krawędzie podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa.
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego V można obliczyć ze wzoru:
V = (1/3) * P * h,
gdzie P to pole podstawy, h to wysokość ostrosłupa.
Znasz już objętość V oraz wysokość h, więc możesz wyznaczyć pole podstawy P:
V = (1/3) * P * h
12√3 cm^3 = (1/3) * P * 9 cm
36√3 cm^3 = P * 9 cm
P = 4√3 cm^2
Aby obliczyć długość krawędzi podstawy a, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie równoramiennym (który powstaje z połowy podstawy i wysokości ostrosłupa). Otrzymujemy:
a^2 = (1/2 * b)^2 + h^2
gdzie b to długość boku trójkąta podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta równoramiennego wynika również, że:
b^2 = a^2 - (1/2 * b)^2
Podstawiamy wartość P = 4√3 cm^2, h = 9 cm:
4√3 cm^2 = (1/2 * b) * a
a = (2 * 4√3 cm^2) / b
b^2 = a^2 - (1/2 * b)^2
b^2 = a^2 - b^2/4
b^2 = (4a^2 - b^2) / 4
5b^2/4 = 4a^2/4
b^2 = 16a^2/5
Podstawiamy wartość b^2 do pierwszego równania:
4√3 cm^2 = (1/2 * b) * a
4√3 cm^2 = (1/2 * √(16a^2/5)) * a
4√3 cm^2 = (2/√5) * a^2
a^2 = (4√3 cm^2 * √5) / 2
a^2 = 2√15 cm^2
a = √(2√15) cm
Ostatecznie krawędź podstawy wynosi √(2√15) cm.