nomor 18 dan 19 yaaa.... Question from @e18ht1nFinity

e18ht1nFinity @e18ht1nFinity

August 2022 1 43 Report

nomor 18 dan 19 yaaa

henriyulianto

18. c. 3
19. d. –6

Pembahasan

Nomor 18

Akar kubik dari sebuah bilangan bulat yang bukan merupakan bilangan kubik sempurna dapat diperoleh dengan metode pendekatan dari bilangan kubik terbesar yang kurang dari bilangan tersebut.

Diberikan: akar kubik dari 2 sebagai pecahan berlanjut (pecahan kontinu):

$\begin{aligned}\sqrt[3]{2}&=a+\frac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}\end{aligned}$

Karena a, b, c, d ∈ ℕ, untuk a, kita harus memilih bilangan kubik terbesar yang kurang dari 2.

Oleh karena itu, a = 1.

$\begin{aligned}\sqrt[3]{2}&={\bf1}+\frac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}\\&={\bf1}+\frac{\sqrt[3]{2}-1}{1}\\&\ \rightsquigarrow\left[\ x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)\ \right]\\&={\bf1}+\frac{\left(\sqrt[3]{2}-1\right)\left(\sqrt[3]{2^2}+1+\sqrt[3]{2}\right)}{\sqrt[3]{2^2}+1+\sqrt[3]{2}}\\&={\bf1}+\frac{\left(\sqrt[3]{2}\right)^3-1}{\sqrt[3]{4}+1+\sqrt[3]{2}}\\&={\bf1}+\frac{2-1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}\\&={\bf1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}\\\end{aligned}$

Diperoleh:

$\begin{aligned}\frac{1}{b\:+\:\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}&=\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}\\\end{aligned}$

Karena $1 < \sqrt[3]{2} < 2$ , $1 < \sqrt[3]{4} < 2$ , dan $\displaystyle 0 < \frac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}} < 1$ , maka:

$\begin{aligned}3 < 1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} < 4\end{aligned}$

sehingga:

$\begin{aligned}\frac{1}{\boxed{\:\bf b\:}+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d+\ddots}}}&=\frac{1}{\boxed{\:\bf3\:}+\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-2\right)}\\\end{aligned}$
$\blacksquare$

KESIMPULAN

∴ Nilai b = 3.

..............................................

Nomor 19

Diketahui

a, b, c, d, e merupakan angka-angka berbeda yang diambil dari {–10, –9, ..., 9, 10}, dan memenuhi sistem persamaan:

$\begin{cases}a-b=2&...(i)\\c-b=-3&...(ii)\\c-d=4&...(iii)\\e-d=-5&...(iv)\end{cases}$

Ditanyakan

Nilai terkecil dari $a+e$ yang mungkin

PENYELESAIAN

Dari persamaan $(i)$ dan $(ii)$ , dapat diperoleh:

$\begin{aligned}a-b&=2\\c-b&=-3\\\textsf{--------}&\textsf{---------}\ -\\a-c&=5\\\Rightarrow c&=a-5\quad...(v)\end{aligned}$

Substitusi persamaan $(v)$ ke dalam $(iii)$ .

$\begin{aligned}c-d&=4\\(v)\to a-5-d&=4\\\Rightarrow\ a-d&=9\quad...(vi)\end{aligned}$

Kurangkan persamaan $(iv)$ dari $(vi)$ .

$\begin{aligned}a-d&=9\\e-d&=-5\\\textsf{--------}&\textsf{---------}\ -\\a-e&=14\\\Rightarrow a&=e+14\quad...(vii)\\\end{aligned}$

Karena $a = e + 14$ , maka $a + e = 2e + 14$ .

Nilai terkecil yang dapat dipilih dari himpunan {–10, –9, ..., 9, 10} adalah –10. Oleh karena itu, kita pilih $e=\bf{-}10$ .

Dengan demikian:

$\begin{aligned}\min(a + e) &= -20 + 14\\\therefore\ \min(a + e)&=\boxed{\ \bf{-}6\ }\end{aligned}$

Apakah nilai $e = -10$ yang telah kita pilih di atas memenuhi sistem persamaan dengan batasan nilai pada himpunan di atas? Mari kita periksa.

$\begin{aligned}(vii):\ &a=e+14\\&\Rightarrow a=-10+14\\&\Rightarrow a=\bf4\\(iv):\ &e-d=-5\\&\Rightarrow {-}10-d=-5\\&\Rightarrow d=\bf-5\\(iii):\ &c-d=4\\&\Rightarrow c-(-5)=4\\&\Rightarrow c=\bf-1\\(ii):\ &c-b=-3\\&\Rightarrow -1-b=-3\\&\Rightarrow b=\bf2\\(i):\ &a-b=2\\&\Rightarrow 4-2=2\\&\Rightarrow \rm BENAR!\\\end{aligned}$
$\blacksquare$

KESIMPULAN

∴ Karena telah terbukti semua nilai a, b, c, d, dan e memenuhi sistem persamaan di atas, dan merupakan anggota dari {–10, –9, ..., 9, 10}, dapat disimpulkan bahwa nilai terkecil dari a+e yang mungkin adalah –6.

3 votes Thanks 2

e18ht1nFinity terimakasih kak, utk nomor 19 saya sudah faham, tapi untuk nomor 18,saya kurang ngerti,

e18ht1nFinity bagian setelah "oleh karena itu, a=1" dibagian bawahnya, dibawah tulisan itu saya cuma paham sampai kakak menerangkan rumus x³-y³=(x-y)(x²+y²+xy) , saya bingung kenapa penyebut dari pecahannya harus ditambah 2^(2/3)+2^(1/3) terus pembilangnya kenapa yg diinput x=2^(1/3) dan y=1 padahal kan udh jelas gausa make rumus kubik tadi bahwa (2^(1/3))^3 -1^3 =2-1=1

henriyulianto Pada bagian itu, kita harus mencari bentuk 1/X, di mana 1/X = ∛2 – 1. X dalam bentuk b + 1/(...).
Pembilang = 1.
Agar menghasilkan 1 pada pembilang, ∛2 – 1 harus dijadikan 2 – 1, yang sama dengan (∛2)³ – 1³.
Makanya kemudian dijelaskan rumus x³-y³=(x-y)(x²+y²+xy), sehingga dapat dipilih x = ∛2 dan y = 1.
Agar 1/X tetap menjadi x-y, maka:
1/X = (x–y) × (x²+y²+xy)/(x²+y²+xy)
1/X = (∛2 – 1) × (∛2² + 1 + ∛2) / (∛2² + 1 + ∛2)
1/X = (2 – 1) / (∛4 + 1 + ∛2)
1/X = 1 / (∛4 + 1 + ∛2)
1/X = 1 / (1 + ∛2 + ∛4)

henriyulianto b + 1/(...) = 1 + ∛2 + ∛4 = 3 + (∛2 + ∛4 -- 2)
b = 3
Kalau dilanjutkan, maka 1/(c + 1/(d + ...)) = (∛2 + ∛4 -- 2)

e18ht1nFinity ooh,ok2 saya ngerti,terimakasih kka

henriyulianto sama2.