Question

Nilai maksimum untuk 20x+30y yang memenuhi sistem pertidaksamaan adalah x+y≤4 , x+3y≤6 , x≥0 y≥0

Answer 1

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : sistem pertidaksamaan linear, nilai maksimum
Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).
Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).
Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.
Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut,
Diketahui sistem pertidaksamaan 
x + y ≤ 4,
x + 3y ≤ 6,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
Perhatikan gambar terlampir.
Kita ubah dahulu pertidaksamaan menjadi persamaan
x + y = 4    ... (1)
x + 3y = 6  ... (2)
________-
⇔ -2y = -2
⇔ y = 1
Nilai y = 1 kita substitusikan ke persamaan (1), diperoleh
x + y = 4
⇔ x = 4 - y
⇔ x = 4 - 1
⇔ x = 3
Jadi, koordinat titik potongnya adalah (3, 1).
Kemudian, kita peroleh titik-titik pojok, yaitu : (0, 2), (4, 0), dan (3, 1). Titik-titik tersebut kita substitusikan ke fungsi f(x, y) = 20x + 30y, diperoleh
(0, 2) → f(0, 2) = 20 . 0 + 30 . 2 = 60
(4, 0) → f(4, 0) = 20 . 4 + 30 . 0 = 80
(3, 1) → f(3, 1) = 20 . 3 + 30 . 1 = 60 + 30 = 90

Jadi, untuk fungsi f(x, y) = 20x + 30y nilai minimumnya adalah 60 dan nilai maksimumnya adalah 90.

Semangat!