Question

Nilai Eigen dan Vektor Eigen(Algebra Linear)
tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut ini, kemudian tentukan matriks p demikian sehingga p-1 AP adalah matriks diagonal​

Answer 1

Misalkan det(A - λI) = 0

Perhatikan bahwa

[tex]\left[\begin{array}{ccc}3&-2&2\\-2&0&-1\\2&-1&0\end{array}\right] - \lambda\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3-\lambda&-2&2\\-2&-\lambda&-1\\2&-1&-\lambda\end{array}\right][/tex]

maka akan didapatkan persamaan karakteristiknya (dihitung dari determinan matriks tersebut), yaitu

[tex](5-\lambda)(\lambda+1)^2=0[/tex]

Sehingga, akan didapatkan

[tex]\lambda_1 = 5, \lambda_{2,3}=-1[/tex]

Jadi nilai-nilai eigennya adalah 5 dan -1.

Untuk mencari nilai vektor, substitusi nilai-nilai eigen tersebut ke dalam persamaan A - λI dan cari bentuk eselon barisnya.

untuk [tex]\lambda=5[/tex]

[tex]A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}3&-2&2\\-2&0&-1\\2&-1&0\end{array}\right] - 5\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\\=\left[\begin{array}{ccc}-2&-2&2\\-2&-5&-1\\2&-1&-5\end{array}\right][/tex]

sehingga,

[tex]\left[\begin{array}{cccc}-2&-2&2&0\\-2&-5&-1&0\\2&-1&-5&0\end{array}\right]R_3\to R_3+R_1; R_2\to R_2-R_1\\\left[\begin{array}{cccc}-2&-2&2&0\\0&-3&-3&0\\0&-3&-3&0\end{array}\right]R_1\to-\frac{1}{2}R_1; R_2\to -\frac{1}{3}R_2; R_3\to R_3-R_2\\\left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right][/tex]

maka akan didapatkan

[tex]v_2+v_3=0\to v_2=-v_3\\v_1+v_2-v_3=0\to v_1-2v_3=0\to v_1=2v_3[/tex]

Misalkan [tex]v_3=t[/tex], dengan t suatu parameter, maka

[tex]v_3=t; v_2=-t; v_1=2t[/tex]

sehingga akan didapatkan vektor eigennya sebagai

[tex]\left[\begin{array}{c}2&-1&1\end{array}\right][/tex]

untuk [tex]\lambda=-1[/tex]

[tex]A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}3&-2&2\\-2&0&-1\\2&-1&0\end{array}\right] - (-1)\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\\=\left[\begin{array}{ccc}4&-2&2\\-2&1&-1\\2&-1&1\end{array}\right][/tex]

maka,

[tex]\left[\begin{array}{cccc}4&-2&2&0\\-2&1&-1&0\\2&-1&1&0\end{array}\right]R_2\to R_2+\frac{1}{2}R_1; R_3\to R_3-\frac{1}{2}R_1\\\left[\begin{array}{cccc}4&-2&2&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right][/tex]

maka akan didapatkan,

[tex]4x_1-2x_2+2x_3=0 \to 2x_1=x_2-x_3[/tex]

misalkan [tex]x_2=s, x_3=t[/tex] dengan s, t suatu parameter, maka

[tex]2x_1=s-t\to x_1=\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t[/tex]

Sehingga akan didapatkan penyelesaiannya, yaitu

[tex]v=\left[\begin{array}{c}x_1&x_2&x_3\end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}&0&1\end{array}\right][/tex]

Jadi, vektor-vektor eigennya adalah

[tex]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}&0&1\end{array}\right][/tex]

Artinya, vektor-vektor eigennya adalah

[tex]\left[\begin{array}{c}2&-1&1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}&0&1\end{array}\right][/tex]

=====

Untuk mendiagonalisasi matriks A, bisa kita manfaatkan nilai eigen sebagai elemen diagonal dari matriks diagonal D dan kolom P adalah vektor-vektor eigen dari A.

Jadi, akan kita dapatkan

[tex]P=\left[\begin{array}{ccc}2&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&1&0\\1&0&1\end{array}\right][/tex]