Question

Niech Z będzie zbiorem wszystkich liczb naturalnych należących do przedziału (400,500). Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba ze zbioru Z nie będzie podzielna przez 5 ani 7.

Answer 1

Odpowiedź:

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba ze zbioru Z (czyli przedziału od 401 do 499) nie będzie podzielna przez 5 ani 7, możemy zastosować zasadę włączenia i wyłączenia.

1. Najpierw obliczmy, ile liczb z tego przedziału jest podzielnych przez 5. Mamy 499 - 401 + 1 = 99 liczb w tym przedziale. Aby dowiedzieć się, ile z nich jest podzielnych przez 5, możemy podzielić 99 przez 5, co daje 19 liczb podzielnych przez 5.

2. Teraz obliczmy, ile liczb z tego przedziału jest podzielnych przez 7. Ponownie, mamy 99 liczb w przedziale. Podzielmy 99 przez 7, co daje 14 liczb podzielnych przez 7.

3. Teraz musimy znaleźć liczbę liczb podzielnych zarówno przez 5, jak i 7, czyli przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW), czyli 35. Obliczmy, ile jest takich liczb w przedziale. Możemy to zrobić dzieląc 99 przez 35, co daje 2 liczb podzielnych zarówno przez 5, jak i 7.

Teraz możemy zastosować zasadę włączenia i wyłączenia:

Liczba liczb niepodzielnych ani przez 5, ani przez 7 w przedziale (401, 499) to:

99 - 19 - 14 + 2 = 68

Teraz obliczmy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba z tego zbioru nie będzie podzielna ani przez 5, ani przez 7. Liczba wszystkich możliwych wyborów to 99 (liczby w przedziale), więc:

Prawdopodobieństwo = (Liczba korzystnych wyników) / (Liczba wszystkich możliwych wyników) = 68 / 99

Teraz możesz obliczyć to prawdopodobieństwo, które wynosi około 0,6869 (zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku).