Question

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Answer 1

Sean [tex]u=(x_1, y_1, z_1), v=(x_2, y_2, z_2) \in R[/tex]  y [tex]\lambda, \mu \in \mathbb{R}[/tex]

Por hipótesis:

[tex]x_i+z_i = 4y_i \quad i \in \{1, 2\}[/tex]

Veamos que [tex]\lambda u +\mu v \in R[/tex], en efecto

[tex]\lambda u +\mu v= (\lambda x_1+\mu x_2, \lambda y_1 +\mu y_2, \lambda z_1 +\mu z_2)[/tex]

De donde

[tex](\lambda x_1 +\mu x_2)+(\lambda z_1 +\mu z_2 )=\lambda(x_1+z_1)+\mu(x_2+z_2)[/tex]

                                          [tex]=\lambda(4y_1)+\mu(4y_2)\\=4(\lambda y_1 + \mu y_2)[/tex]

Lo que muestra lo buscado y por tanto [tex]R[/tex] es un subespacio vectorial de [tex]\mathbb{R}^3[/tex]

Sean [tex]u=(x_1, y_1, z_1), v=(x_2, y_2, z_2) \in S[/tex] y  [tex]\lambda, \mu \in \mathbb{R}[/tex]

Por hipótesis:

[tex]2x_i+y_i = z_i \quad i \in \{1, 2\}[/tex]

Veamos que [tex]\lambda u +\mu v \in R[/tex], en efecto

[tex]\lambda u +\mu v= (\lambda x_1+\mu x_2, \lambda y_1 +\mu y_2, \lambda z_1 +\mu z_2)[/tex]

De donde

[tex]2(\lambda x_1 +\mu x_2)+(\lambda y_1 +\mu y_2 )=\lambda(2x_1+y_1)+\mu(2x_2+y_2)[/tex]

                                           [tex]=\lambda z_1+\mu z_2[/tex]

Lo que muestra lo buscado y por tanto [tex]S[/tex] es un subespacio vectorial de [tex]\mathbb{R}^3[/tex]