Mira la imagen adjunta, por fa, para facilitar la explicación.
Debemos tomar en cuenta, los siguientes argumentos:
Si AB=BC, tal como lo dice el ejercicio, entonces el triángulo ABC es isósceles.
Si es triángulo isósceles, significa que, gracias a una de las propiedades de dicho triángulo, el ángulo A es igual al ángulo C; por tanto, podemos calcular la medida de <A y <C, mediante la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo = 180°
<A+<C+40°=180
<A+<C=140° y como <A = <C, entonces cada uno de ellos mide 70°
Se tiene una circunferencia inscrita en el triángulo isósceles ABC, e igualmente se observan varios puntos externos a dicha circunferencia, así:
Un punto A, del cual parten las tangentes AP y AR. Por el teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior, puede afirmarse que esas tangentes son congruentes, lo cual implica que tenemos otro triángulo isósceles, el cual es ▲PAR
Si ese triángulo es isósceles, entonces el <P, formado por el vértice APR es igual a <T (naranja), formado por el vértice ARP (recuerda que la letra del ángulo va en el medio) y como ya sabemos que <A=70°, entonces nuevamente aplicamos la suma de ángulos internos y decimos:
<P+<T+70°=180; <P+<T=180-70; <P+<T=110; por lo que cada uno mide 55°
Tenemos también el punto B que es externo a la circunferencia, del cual parten las tangentes BR y BQ, que son congruentes, por el teorema anteriormente mencionado.
Entonces, tenemos que el triángulo QBR es también isósceles, por lo que sus ángulos en H (verde) y Q, son iguales. Aplicamos la misma consideración que hicimos para el triángulo ABC, y tenemos que si <B=40, entonces <H y <Q, medirá cada uno, 70°
En el punto R se forma un ángulo llano, de 180°, donde están los ángulos T que mide 55°, en el medio está el ángulo X, que es el que nos piden, y también está el < H que mide 70°. Entonces, aplicamos la propiedad del ángulo llano y decimos:
Explicación paso a paso:
2x + 70 = 180
2x = 180 - 70
2x = 110°
x = 55°
Verified answer
Respuesta:
X=55°
Explicación paso a paso:
Mira la imagen adjunta, por fa, para facilitar la explicación.
Debemos tomar en cuenta, los siguientes argumentos:
Si AB=BC, tal como lo dice el ejercicio, entonces el triángulo ABC es isósceles.
Si es triángulo isósceles, significa que, gracias a una de las propiedades de dicho triángulo, el ángulo A es igual al ángulo C; por tanto, podemos calcular la medida de <A y <C, mediante la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo = 180°
<A+<C+40°=180
<A+<C=140° y como <A = <C, entonces cada uno de ellos mide 70°
Se tiene una circunferencia inscrita en el triángulo isósceles ABC, e igualmente se observan varios puntos externos a dicha circunferencia, así:
Un punto A, del cual parten las tangentes AP y AR. Por el teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior, puede afirmarse que esas tangentes son congruentes, lo cual implica que tenemos otro triángulo isósceles, el cual es ▲PAR
Si ese triángulo es isósceles, entonces el <P, formado por el vértice APR es igual a <T (naranja), formado por el vértice ARP (recuerda que la letra del ángulo va en el medio) y como ya sabemos que <A=70°, entonces nuevamente aplicamos la suma de ángulos internos y decimos:
<P+<T+70°=180; <P+<T=180-70; <P+<T=110; por lo que cada uno mide 55°
Tenemos también el punto B que es externo a la circunferencia, del cual parten las tangentes BR y BQ, que son congruentes, por el teorema anteriormente mencionado.
Entonces, tenemos que el triángulo QBR es también isósceles, por lo que sus ángulos en H (verde) y Q, son iguales. Aplicamos la misma consideración que hicimos para el triángulo ABC, y tenemos que si <B=40, entonces <H y <Q, medirá cada uno, 70°
En el punto R se forma un ángulo llano, de 180°, donde están los ángulos T que mide 55°, en el medio está el ángulo X, que es el que nos piden, y también está el < H que mide 70°. Entonces, aplicamos la propiedad del ángulo llano y decimos:
55°+X+70°=180°
X=180-55-70
X=55°