Question

Napisz równanie stycznej do okregu o równaniu x^2+y^2-8x-4y=5 przechodzacej przez punkt P=(0,5).​

Answer 1

Aby napisać równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P = (0,5), musimy najpierw znaleźć punkt styczności na okręgu. Następnie skorzystamy z tej informacji, aby obliczyć współczynniki równania stycznej.

Równanie okręgu dane jest jako x^2 + y^2 - 8x - 4y = 5. Możemy przekształcić to równanie, aby otrzymać postać kanoniczną okręgu, odejmując 5 od obu stron:

x^2 + y^2 - 8x - 4y - 5 = 0

Teraz skorzystamy z informacji, że punkt P = (0,5) leży na stycznej do okręgu. Jeśli punkt leży na stycznej, oznacza to, że jest punktem styczności i styczna do okręgu przechodzi przez ten punkt.

Pierwszym krokiem jest obliczenie współrzędnych punktu styczności. W tym celu skorzystamy z równań, które opisują styczność okręgu:

Równanie styczności: y - y1 = m(x - x1)

gdzie (x1, y1) są współrzędnymi punktu styczności, a m to współczynnik nachylenia stycznej.

Teraz obliczymy współrzędne punktu styczności. Zauważmy, że równanie okręgu możemy zapisać jako:

(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 30

Teraz przekształcimy równanie okręgu do postaci ogólnej, aby uzyskać wartości (x1, y1):

(x - 4)^2 + (y - 2)^2 - 30 = 0

Porównując to równanie z równaniem styczności, otrzymujemy:

x1 = 4

y1 = 2

Teraz musimy obliczyć współczynnik nachylenia m stycznej. Aby to zrobić, obliczmy pochodną równania okręgu i podstawmy wartości (x1, y1):

dy/dx = -(x1 - 4)/(y1 - 2)

Podstawiając x1 = 4 i y1 = 2, otrzymujemy:

m = -(4 - 4)/(2 - 2) = 0/0

Widzimy, że m jest nieokreślone. Oznacza to, że styczna jest pionowa. Równanie stycznej ma więc postać x = c, gdzie c to współrzędna x punktu styczności.

Podstawiając x1 = 4, otrzymujemy:

x = 4

Równanie stycznej do okręgu o równaniu x^2 + y^2 - 8x - 4y = 5, przechodzącej przez punkt P = (0,5), jest x = 4.