Question

napisz równanie prostej równoległej do prostej 3x-5y+16=0 i przechodzącej przez punkt P(1,-2)

Answer 1

[tex]\large\text{$3x-5y-13=0$}[/tex]      lub     [tex]\large\text{$y=\frac35x-\frac{13}5$}[/tex]

Proste równoległe

zapisane w postaci ogólnej:

  [tex]\large\text{$A_1x+B_1y+C_1=0$}[/tex]      i     [tex]\large\text{$A_2x+B_2y+C_2=0$}[/tex]

mają proporcjonalne współczynniki przy x i y:

                  [tex]\large\text{$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}$}[/tex]

Zatem najprościej jest przyjąć takie same współczynniki.

Wtedy,

równanie prostej równoległej do prostej 3x-5y+16=0 będzie miało postać:

        [tex]\large\text{$3x-5y+C=0$}[/tex]

Skoro ta prosta przechodzi przez punkt P(1, -2), to współrzędne punktu P spełniają jej równanie.

Czyli:

        [tex]\large\text{$3\cdot1-5\cdot(-2)+C=0$}\\\\ \large\text{$3+10+C=0$}\\\\ \large\text{$C=-13$}[/tex]

Zatem,

równanie szukanej prostej

{w postaci ogólnej} to:

                        [tex]\huge\boxed{\ \bold{3x-5y-13\,=\big \,0}\ }[/tex]

Jeżeli potrzebujesz równania w postaci kierunkowej, to wystarczy z otrzymanej postaci ogólnej wyznaczyć y:

[tex]\large\text{$3x-5y-13=0$} \\\\ \large\text{$-5y=-3x+13\qquad/:(-5)$} \\\\ \large\text{$\bold{y=\frac35x-\frac{13}5}$}[/tex]

Answer 2

[tex]\large\text{$ y = \frac35x-\frac{13}5$}[/tex]

Proste równoległe

mają takie same współczynniki kierunkowe:

             a₁ = a₂

Zamieniamy równanie danej prostej na postać kierunkową:

[tex]3x-5y+16=0\\\\-5y=-3x-16\qquad/:(-5) \\\\ y = \frac35x+\frac{16}5[/tex]

Czyli współczynnik kierunkowy szukanej prostej to  [tex]\frac35[/tex]

Prosta przechodzi przez punkt P, więc aby obliczyć b, wystarczy podstawić współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu P do równania "podstawowego" prostej:

               [tex]y=ax+b\\\\ {-}2=\frac35\cdot1+b\\\\ {-}2=\frac35+b\qquad /-\frac35\\\\b=-2\frac35 = -\frac{13}5[/tex]

Czyli równanie szukanej prostej to:

         [tex]\large\text{$ y = \frac35x-\frac{13}5$}[/tex]

{nie trzeba zamieniać liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy, ale dla mnie liczby mieszane w równaniu prostej wyglądają dziwnie}