Question

Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu x² +y² - 2x +4y -2 = 0
względem
a) osi Ox
b) osi Oy
c) prostej x=5
d) prostej y = -16
e) prostej 2x -3y +1 = 0

Answer 1

Odpowiedź:

x² + y² - 2 x + 4 y - 2= 0

( x - 1)² - 1 + ( y+ 2)² - 4 - 2 = 0

( x - 1)² + ( y + 2 )² =  7

S = ( 1, - 2 )       r² = 7

więc

a)  oś Ox                 S ' = ( 1 , 2 )

( x - 1)² + ( y - 2)² = 7

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b )   oś Oy   S ' = ( - 1 , - 2)

( x + 1)² + ( y + 2)² = 7

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c )   Prosta  x = 5

[tex]\frac{1 + a}{2} = 5[/tex]      ⇒ 1 + a = 10

a = 9

( x - 9)² + ( y + 2)² = 7

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d )   Prosta  y = - 16

[tex]\frac{-2 + b}{2} = - 16[/tex]    ⇒  -2 + b = - 32

b = - 30

( x - 1)² + ( y + 30)² = 7

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e )   Prosta  2 x - 3 y + 1 = 0

3 y = 2 x + 1

y =  [tex]\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}[/tex]

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Prosta ⊥  do danej :

y = - 1,5 x + b                     S = ( 1, - 2)

więc  -2 = - 1,5*1 + b   ⇒  b = - 0,5

y = - 1,5 x - 0,5

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Punkt przecięcia prostych

[tex]\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} = - 1,5 x - 0,5 / * 3[/tex]

2 x + 1 = - 4,5 x - 1,5

6,5 x = - 2,5 / : 6,5

x = - [tex]\frac{5}{13}[/tex]                     y =  - [tex]\frac{3}{2} *(- \frac{5}{13} )[/tex] - 0,5 = [tex]\frac{15}{26} - \frac{13}{26} = \frac{1}{13}[/tex]

zatem

[tex]\frac{1 + a}{2} = - \frac{5}{13} / *2[/tex]                        [tex]\frac{- 2 + b}{2} = \frac{1}{13} / * 2[/tex]

1 + a = - [tex]\frac{10}{13}[/tex]                              - 2 + b = [tex]\frac{2}{13}[/tex]

a = - [tex]\frac{23}{13}[/tex]                                       b = [tex]\frac{28}{13}[/tex]

( x + [tex]\frac{23}{13})^2 + ( y - \frac{28}{13} )^2 = 7[/tex]

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Szczegółowe wyjaśnienie: