Question

Na rysunku przedstawiono trzy trójkąty prostokątne: ABE, EBC, i DEC. Uzasadnij, że dwa z nich tworzą parę trójkątów podobnych. Oblicz skalę podobieństwa.

Answer 1

Trójkąt ABE jest podobny do trójkąta DEC w skali k = ¹/₂.

Skala podobieństwa

Skalą podobieństwa figur jest stosunkiem długości odpowiadających sobie boków.

[tex]\huge\begin{matrix}k=\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}b=\dfrac{c'}c...\end{matrix}[/tex]

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym, suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

[tex]\huge\begin{matrix}a^2+b^2=c^2\end{matrix}[/tex]

Rozwiązanie:

Dane są trzy trójkąty ABE, EBC i DEC takie, że:

[tex]\triangle ABE \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB \perp AE\\|AE|=4\\|BE|=5\end{array}\right.\\\\\\\triangle EBC\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BE \perp CE\\|BE|=5\\|CE|=10\end{array}\right.\\\\\\\triangle DEC \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}DE \perp CD\\|DE|=6\\|CE|=10\end{array}\right.[/tex]

Przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy długości brakujących odcinków:

[tex]\begin{array}{lll}|AB|^2+|AE|^2=|BE|^2 \\\\|AB|^2=|CE|^2-|AE|^2\\\\|AB|^2=5^2-4^2\\\\|AB|^2=25-16\\\\|AB|^2=9&|&\sqrt{}\\\\\boxed{\bold{|AB|=3}}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}|BE|^2+|CE|^2=|BC|^2\\\\|BC|^2=5^2+10^2\\\\|BC|^2=25+100\\\\|BC|^2=125&|&\sqrt{}\\\\|BC|=\sqrt{125}\\\\|BC|=\sqrt{25\cdot 5}\\\\\boxed{\bold{|BC|=5\sqrt5}}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}|DE|^2+|CD|^2=|CE|^2\\\\|CD|^2=|CE|^2-|DE|^2\\\\|CD|^2=10^2-6^2\\\\|CD|^2=100-36\\\\|CD|^2=64&|&\sqrt{}\\\\\boxed{\bold{|CD|=8}}\end{array}[/tex]

Sprawdzamy pary trójkątów podobnych:

1. ΔABE i ΔEBC
   [tex]k=\dfrac{|AB|}{|BE|}\\\\\\k=\dfrac35[/tex]
   
   Sprawdzamy, czy iloraz odpowiadających sobie długości pozostałych boków jest równy k:
   
   [tex]\dfrac{|AE|}{|CE|}=\dfrac{4}{10}=\dfrac25 \neq k[/tex]
   Trójkąty ABE i EBC nie są podobne.
   
2. ΔEBC i ΔDEC
   [tex]k=\dfrac{|DE|}{|BE|}\\\\\\k=\dfrac{6}5[/tex]
   
   Sprawdzamy, czy iloraz odpowiadających sobie długości pozostałych boków jest równy k:
   
   [tex]\dfrac{|BC|}{|CE|}=\dfrac{5\!\!\!\!\diagup^1\sqrt5}{10\!\!\!\!\!\diagup_2}=\dfrac{\sqrt5}2\neq k[/tex]
   Trójkąty EBC i DEC nie są podobne.
   
3. ΔABE i ΔDEC
   [tex]k=\dfrac{|AB|}{|DE|}\\\\\\k=\dfrac{3}6\\\\\\k=\dfrac12[/tex]
   
   Sprawdzamy, czy iloraz odpowiadających sobie długości pozostałych boków jest równy k:
   
   [tex]\dfrac{|BE|}{|CE|}=\dfrac5{10}=\dfrac12=k\\\\\\\dfrac{|AE|}{|CD|}=\dfrac{4}{8}=\dfrac12=k[/tex]
   Trójkąty ABE i DEC są podobne.