Na rysunku przedstawiono cztery koła o środkach w punktach A, B, C i D. Promień koła najmniejszego o środku w punkcie C jest 4 razy mniejszy niż promień koła największego o środku w punkcie B, a odcinek BD ma długość 12cm. Długość promieni kół wyrażają liczby naturalne. Uzasadnij, że koła o środkach A i D są przystające.
Odpowiedź:
Zadanie nierozwiązywalne
Szczegółowe wyjaśnienie:
Długość odcinka |BD| wynosi 12 i według rysunku może zostać wyrażone poprzez sumę promieni kół B i D oraz średnicy (dwóch promieni) koła C:
|BD|= 12 = rB + 2 * rC + rD
ponieważ mamy uzasadnić, że okrąg D i A są przystające (w przypadku koła, okręgu i kuli oznacza to, że mają te same promienie), i wiedząc że:
rC = x (punkt odniesienia / treść zadania)
rB = 4 * rC = 4x (odczytane z treści zadania)
rA = rB / 2 = 4x / 2 = 2x (odczytane z rysunku)
rA = rB / 2 (co widzimy z rysunku)
możemy zapisać:
|BD| = 12 = rB + 2 * rC + rA = 4x + 2x + 2x
Z tego uzyskujemy:
8x = 12
czyli
x = 1,5
Wtedy otrzymujemy, że rB = 6, rD = rA = 3, rC = 1,5, a więc koło A oraz D są przystające. Jednak rC = 1,5 nie jest liczbą naturalną, więc nie może być to odpowiedź na pytanie.
Można do tego podejść inaczej biorąc pod uwagę tylko długość odcinka |BD| i promienie kół B, C, D:
|BD|= 12 = rB + 2*rC + rD = 4x + 2x + (12-6x)
Z tego równania widzimy, że jedyną liczbą naturalną spełniającą to równanie jest x = 1. Jednakże wtedy rD = 6x = 6, natomiast rA = 2x = 2. Wtedy to D jest największym okręgiem, a rysunek jest źle narysowany.