Question

Na ile sposobów można rozsadzić w dwóch 8 osobowych rzędach ławek 14 uczniów z których 4 siada zawsze z tyłu a 5 siada zawsze z przodu?

Answer 1

Odpowiedź:

A   C

Na początku trzeba uściślić , krzesełka (miejsca ) na ławkach są numerowane , osoby które siadają z przodu lub z tyłu są ściśle określone (z góry wybrane  )

• wybieramy miejsca dla  5 osób (  określonych z góry) z 8  które usiądą z przodu na  [tex]\displaystyle {8 \choose 5}[/tex]   sposobów

•      osoby te zmieniają się miejscami na [tex]5![/tex]   sposobów
• wybieramy miejsca dla  4 osób (  określonych z góry) z 8  które usiądą z tyłu na   [tex]\displaystyle {8 \choose 4}[/tex]  sposobów
•  osoby te zmieniają się miejscami na [tex]4![/tex]   sposobów      

z pozostałych 7 miejsc na obu ławkach wybieramy   5 miejsc dla pozostałych uczniów na    [tex]\displaystyle {7 \choose 5}[/tex]  sposobów

•     osoby te zmieniają się miejscami na [tex]5![/tex]   sposobów          

   Odpowiada to odpowiedzi A  

   [tex]\displaystyle {8 \choose 5}5!\cdot \displaystyle {8 \choose 4}4! \cdot \displaystyle {7 \choose 5} 5![/tex]

Zauważmy że   [tex]\displaystyle {n \choose k}=\displaystyle {n \choose n-k}[/tex]

i w c mamy [tex]\displaystyle {8 \choose 5}=\displaystyle {8 \choose 3}\\ {7 \choose 5}=\displaystyle {7 \choose 2}[/tex]

czyli wynik z A jest identyczny jak w C , czyli mamy do czynienia z testem wielokrotnego wyboru i prawidłową odpowiedzią jest A i C