Question

Na ile sposobów możemy stworzyć bukiet 13 róż , mając do dyspozycji białe ,czerwone i herbaciane róże , jeżeli białych ma być nie więcej niż 7 i nie mniej niż 3?

Answer 1

Rozpatrzymy oddzielnie przypadki dla każdej możliwej liczby białych róż. Liczbę róż innego koloru obliczymy ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami [tex]\displaystyle \binom{k+n-1}{k}[/tex], gdzie [tex]n[/tex] będzie oznaczało liczbę możliwych kolorów róż (w tym przypadku 2), a [tex]k[/tex] liczbę róż w dowolnym z tych kolorów.

• 3 róże białe i 10 róż innego koloru
  
  [tex]\displaystyle\\\binom{10+2-1}{10}=\binom{11}{10}=11[/tex]

• 4 róże białe i 9 róż innego koloru
  
  [tex]\displaystyle\\\binom{9+2-1}{9}=\binom{10}{9}=10[/tex]

• 5 róż białych i 8 róż innego koloru
  
  [tex]\displaystyle\\\binom{8+2-1}{8}=\binom{9}{8}=9[/tex]

• 6 róż białych i 7 róż innego koloru
  
  [tex]\displaystyle\\\binom{7+2-1}{7}=\binom{8}{7}=8[/tex]

• 7 róż białych i 6 róż innego koloru
  
  [tex]\displaystyle\\\binom{6+2-1}{6}=\binom{7}{6}=7[/tex]

[tex]11+10+9+8+7=45[/tex]

Wszystkich sposobów jest zatem 45.