Question

Na ile sposobów możemy rozmieścić 8 ponumerowanych kul w 4 jednakowych niebieskich pudełkach , tak aby w każdym z pudełek znajdowała się co najmniej jedna kula ?
Proszę o zrobienie klasycznie (na poziomie szkoły średniej , bez liczb Stirlinga 2)
Odp:1701

Answer 1

Odpowiedź:

Kule możemy rozmieścić na 1701 sposobów.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Musimy rozważyć kilka sytuacji

Kulki umieszczamy (liczba kulek w poszczególnych pudełkach):

5+1+1+1

Różnych układów jest:

[tex]${8\choose5}\cdot \frac{1}{3!}\cdot {3\choose 1}\cdot {2\choose 1}\cdot {1\choose 1}=56$[/tex]

4+2+1+1

Różnych układów jest:

[tex]${8\choose4}\cdot {4\choose 2}\cdot\frac{1}{2!}\cdot {2\choose 1}\cdot {1\choose 1}=420$[/tex]

3+3+1+1

Różnych układów jest:

[tex]$\frac{1}{2!}\cdot {8\choose 3}\cdot {5\choose 3}\cdot \frac{1}{2!}\cdot {2\choose 1}\cdot {1\choose 1}=280$[/tex]

3+2+2+1

Różnych układów jest:

[tex]${8\choose 3}\cdot\frac{1}{2!}\cdot {5\choose2}\cdot {3\choose 2}\cdot {1\choose 1}=840$[/tex]

2+2+2+2

Różnych układów jest:

[tex]$\frac{1}{4!}\cdot {8\choose 2}\cdot {6\choose 2}\cdot {4\choose 2}\cdot {2\choose 2}=105$[/tex]

---

W sumie różnych układów jest:

[tex]56+420+280+840+105=\boxed{1701}[/tex]