Question

Na ile różnych sposobów można wybrać wyprawę k spośród n rycerzy okrągłego stołu, jeśli nie wolno wybrać żadnych dwóch sąsiadów?

Answer 1

Rycerzy okrągłego stołu można wybrać na ( [tex]n-k -1 \\ k-1[/tex] ) +  ( [tex]n-k \\ k[/tex] ) sposobów.

Jak obliczyć na ile różnych sposobów można wybrać wyprawę k rycerzy?

Musimy założyć jakikolwiek punkt odniesienia. Zakładajmy, że 1 z rycerzy okrągłego stołu to Bors.

Musimy rozpatrzyć 2 przypadki:

1. Bors jedzie:

to osoby siedzące po jego lewej stronie i prawej nie mogą jechać, więc zostaje nam:

• n-3 osób, z których trzeba wybrać k-1, więc osób, których nie wybierzemy jest: n-k-2

• jeśli osoby, które nie jadą ustawią się w szereg to między nimi będzie n-k-3 miejsc oraz 1 z lewej i 1 z prawej strony, razem n-k-1 miejsc, gdzie mogłyby siedzieć osoby wybrane

• więc w tym przypadku ilość możliwych wyborów na wyprawę to:

        ( [tex]n-k -1 \\ k-1[/tex])

2. Bors nie jedzie:

• zostaje n-1 osób, z nich trzeba wybrać k, więc osób, których nie wybierzemy jest: n-k-1

• jeżeli osoby, które nie jadą ustawią się w szereg to między nimi będzie n-k-2 miejsc oraz po 1 z lewej i  z prawej strony, razem n-k miejsc, gdzie mogłyby siedzieć wybrani rycerze

• więc w tym przypadku ilość możliwych wyborów delegacji to

       ( [tex]n-k \\ k[/tex] )

3. Następnie sumujemy obie wartości, które obliczyliśmy:

                               ( [tex]n-k -1 \\ k-1[/tex] ) +  ( [tex]n-k \\ k[/tex] )

4. Redagujemy i zapisujemy odpowiedź.

#SPJ1