Question

Na ile można rozmieścić 9 ponumerowanych kul w 4 ponumerowanych komórkach tak , aby :
a) w pierwszej komórce była dokładnie jedna kula i w drugiej były dokładnie 2 kule
b)w pierwszej komórce byla co najmniej jedna kula i w drugiej komórce byla co najmniej jedna kula

Answer 1

a)

[tex]\displaystyle\\9\cdot \binom{8}{2}\cdot2^6=9\cdot\dfrac{8!}{2!6!}\cdot64=576\cdot\dfrac{7\cdot8}{2}=16128[/tex]

• w pierwszej komórce umieszczamy 1 z 9 kul
• w drugiej komórce umieszczamy 2 z pozostałych 8 kul (kolejność nie ma znaczenia, stąd kombinacje)
• pozostałe 6 kul rozmieszczamy dowolnie w pozostałych 2 komórkach

b)

Tutaj będzie prościej policzyć, ile jest wszystkich możliwych rozmieszczeń i ile jest takich rozmieszczeń, że pierwsza lub druga komórka są puste, a następnie odjęcie drugiego wyniku od pierwszego.

[tex]4^9=262144[/tex] - liczba wszystkich rozmieszczeń

[tex]3^9+3^9-2^9=19683+19683-512=38854[/tex] - liczba rozmieszczeń, że pierwsza lub druga komórka są puste

• rozmieszczamy wszystkie 9 kul w dowolnych 3 komórkach poza pierwszą lub w dowolnych 3 komórkach poza drugą
• w powyższym rozmieszczeniu może jednak dojść do sytuacji, że zarówno pierwsza, jak i druga komórka będą puste, dlatego musimy odjąć liczbę takich rozmieszczeń, która to jest równa liczbie rozmieszczeń 9 kul w pozostałych 2 komórkach

[tex]262144-38854=223290[/tex]