Question

NA DZIŚ bardzo prosze
Hej moi drodzy potrzebuję pomocy z zadaniem z matematyki



Mamy 240 metrów bieżących siatki ogrodzeniowej. Chcemy nią ogrodzić prostokątny

ogródek o jak największej powierzchni. Jakie wymiary powinien mieć ogródek, jeżeli nie

będziemy grodzić jednego boku na odcinku 10 metrów?

Answer 1

Największym, co do powierzchni ogródkiem, który możemy tak ogrodzić, jest ogródek o wymiarach 62,5m × 62,5m.

Funkcja kwadratowa - zadnia optymalizacyjne.

Funkcja kwadratowa:

• postać ogólna
  [tex]f(x)=ax^2+bx+c\qquad a,b,c\in\mathbb{R}\ \wedge\ a\neq0[/tex]
• postać kanoniczna
  [tex]f(x)=a(x-p)^2+q\\\\p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)=\dfrac{-\Delta}{4a}[/tex]
  [tex](p,\ q)[/tex] - współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji [tex]f[/tex]
• postać iloczynowa
  - gdy Δ < 0 - nie istnieje
  
  - gdy Δ = 0 -  [tex]f(x)=a(x-x_0)^2[/tex], gdzie
  [tex]x_0=\dfrac{-b}{2a}[/tex]
  
  - gdy Δ > 0 - [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], gdzie
  [tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]

Gdy

• a < 0, to funkcja przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli;
• a > 0, to funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.

ROZWIĄZANIE:

Kreślimy rysunek poglądowy z oznaczeniami.

Daną mamy długość siatki ogrodzeniowej. Układamy równanie:

[tex]2x+2y-10=240\qquad|+10\\\\2x+2y=250\qquad|:2\\\\x+y=125\qquad|-x\\\\y=125-x[/tex]

Powierzchnia ogródka będzie wyrażała się wzorem na pole prostokąta:

[tex]P=x\cdot y[/tex]

Podstawiamy wyrażenie, jakiemu równe jest [tex]b[/tex]:

[tex]P=x\cdot(125-x)=-x^2+125x[/tex]

Otrzymujemy funkcję kwadratową:

[tex]f(x)=-x^2+125x[/tex]

Określmy na początku dziedzinę tej funkcji:

[tex]x > 0\ \wedge\ 125-x > 0\\\\x > 0\ \wedge\ x < 125\\\\\mathbb{D}:x\in(0,\ 125)[/tex]

Współczynnik przy [tex]x^2[/tex] wynosi [tex]a=-1<0[/tex]. W związku z tym funkcja osiąga w wierzchołku wartość maksymalną.

Obliczamy odciętą wierzchołka ([tex]p[/tex]):

[tex]p=\dfrac{-125}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-125}{-2}=62,5\in\mathbb{D}[/tex]

Czyli [tex]x=62,5m[/tex].

Obliczamy długość [tex]y[/tex].

[tex]y=125-62,5=62,5(m)[/tex]

Odp: Największym, co do powierzchni ogródkiem, który możemy tak ogrodzić, jest ogródek o wymiarach 62,5m × 62,5m.