Na boku AD Rombu ABCD wybrano taki punkt E że E Jest środkiem odcinka AD Oraz AB=EB (zobacz rysunek)
Oblicz pole rombu ABCD oraz długość przekątnej DB zapisz obliczenia
ZDJ W ZAŁĄCZNIKU PILNE!!!
Oblicz pole rombu ABCD oraz długość przekątnej DB zapisz obliczenia
ZDJ W ZAŁĄCZNIKU PILNE!!!
Odpowiedź:
[tex]P=4\sqrt{15}\\\\|BD|=2\sqrt6[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy długość boku rombu jako a. Wówczas z treści zadania wynika, że
[tex]|AE|=|ED|=\frac{1}{2}a\\\\|AB|=|EB|=a[/tex]
Poprowadźmy wysokość rombu wychodzącą z wierzchołka B i padającą na bok AD. Oznaczmy ją jako h.
[tex]h=\sqrt{15}[/tex]
Zauważmy, że trójkąt ABE jest równoramienny, a wysokość rombu h jest jednocześnie wysokością tego trójkąta padającą na jego podstawę. Zatem wysokość ta dzieli podstawę trójkąta AE na połowy.
Z tw. Pitagorasa mamy zatem:
[tex]h^2+\left(\frac{1}{4}a\right)^2=a^2\\\\(\sqrt{15})^2+\frac{1}{16}a^2=a^2\\\\15=a^2-\frac{1}{16}a^2\\\\15=\frac{15}{16}a^2\ |*\frac{16}{15}\\\\16=a^2\\\\a=4[/tex]
Policzmy pole rombu.
[tex]P=ah\\\\P=4*\sqrt{15}=4\sqrt{15}[/tex]
Oznaczmy przekątną DB jako e, zaś przekątną AC jako f.
Ze wzoru na pole rombu z przekątnymi mamy:
[tex]P=\frac{ef}{2}\\\\4\sqrt{15}=\frac{ef}{2}\ |*2\\\\8\sqrt{15}=ef\ |:e\\\\f=\frac{8\sqrt{15}}{e}[/tex]
Przekątne rombu dzielą się na połowy i są prostopadłe, więc z tw. Pitagorasa mamy:
[tex]\left(\frac{1}{2}e\right)^2+\left(\frac{1}{2}h\right)^2=a^2\\\\\frac{1}{4}e^2+\left(\frac{1}{2}*\frac{8\sqrt{15}}{e}\right)^2=4^2\\\\\frac{1}{4}e^2+\left(\frac{4\sqrt{15}}{e}\right)^2=16\\\\\frac{1}{4}e^2+\frac{16*15}{e^2}=16\\\\\frac{1}{4}e^2+\frac{240}{e^2}=16\ |*4e^2\\\\e^4+960=64e^2\\\\e^4-64e^2+960=0\\\\t=e^2 > 0\\\\t^2-64t+960=0\\\\\Delta=(-64)^2-4*1*960=4096-3840=256\\\\\sqrt\Delta=16\\\\t_1=\frac{64-16}{2}=24\\\\t_2=\frac{64+16}{2}=40\\\\e^2=24\quad\vee\quad e^2=40[/tex]
[tex]e=\sqrt{24}\quad\vee\quad \underbrace{e=-\sqrt{24}}_{ < 0\text{ odrzucam}}\quad\vee\quad e=\sqrt{40}\quad\vee\quad \underbrace{e=-\sqrt{40}}_{ < 0\text{ odrzucam}}\\\\e=\sqrt{24}\quad\vee\quad e=\sqrt{40}\\\\e=\sqrt{4*6}\quad\vee\quad e=\sqrt{4*10}\\\\e=2\sqrt{6}\quad\vee\quad e=2\sqrt{10}\\\\\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt6\\f=\frac{8\sqrt{15}}{2\sqrt6}\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt{10}\\f=\frac{8\sqrt{15}}{2\sqrt{10}}\end{array}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt6\\f=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt6}*\frac{\sqrt6}{\sqrt6}\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt{10}\\f=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{10}}*\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt6\\f=\frac{4\sqrt{90}}{6}\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt{10}\\f=\frac{4\sqrt{150}}{10}\end{array}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt6\\f=\frac{2\sqrt{9*10}}{3}\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt{10}\\f=\frac{2\sqrt{25*6}}{5}\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt6\\f=\frac{2*3\sqrt{10}}{3}\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt{10}\\f=\frac{2*5\sqrt{6}}{5}\end{array}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt6\\f=2\sqrt{10}\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}e=2\sqrt{10}\\f=2\sqrt6\end{array}\right.[/tex]
Są dwie pary liczb, które mogą być długościami przekątnych. Zauważmy, jednak, że przekątna BD jest krótszą przekątną, a ten warunek spełnia tylko pierwsza para liczb. Zatem ostatecznie
[tex]|BD|=2\sqrt6[/tex]