Na bokach AB i BC równoległoboku ABCD, |AB| < |BC|, zbudowano trójkąty równoboczne ABE i CBF - jak na rysunku. Wykaż, że |EF| = |AC|.
wskazówka: Uzasadnij, że |∡ABC| = |∡EBF| i wykaż, że ΔABC ≡ ΔEBF (cecha bkb).
wskazówka: Uzasadnij, że |∡ABC| = |∡EBF| i wykaż, że ΔABC ≡ ΔEBF (cecha bkb).
Wykażemy przystawanie trójkątów ABC i EBF.
Zauważmy, że
1) skoro trójkąt ABE jest równoboczny, to [tex]|AB|=|EB|[/tex]
2) skoro trójkąt CBF jest równoboczny, to [tex]|BC|=|BF|[/tex]
Pozostało wykazać równość miar kątów [tex]|\angle ABC|=|\angle EBF|[/tex]
Skoro trójkąty ABE i CBF są równoboczne, to [tex]|\angle ABE|=|\angle CBF|=60^\circ[/tex]
Zatem zachodzi:
[tex]|\angle ABC|=|\angle ABE|+|\angle EBC|=60^\circ+|\angle EBC|\\\\|\angle EBF|=|\angle CBF|+|\angle EBC|=60^\circ+|\angle EBC|[/tex]
Zatem [tex]|\angle ABC|=|\angle EBF|[/tex]
Na mocy cechy przystawania trójkątów bkb trójkąty ABC i EBF są podobne.
Zatem pozostałe boki tych trójkątów są równej długości, czyli
[tex]|EF|=|AC|[/tex]
To kończy dowód.