Question

Diberikan x₁ = (3n-2)/(2n+1) dan yn = 1/n untuk n ganjil dan yn = n/(n+2) untuk n genap, maka apakah xn dan yn adalah barisan? Jika iya, Xn maka apakah konvergen? tentukan pula supremum dan infimum dari xn dan yn.​

Answer 1

Jawaban:

Untuk membuktikan apakah xn dan yn adalah barisan, kita perlu memeriksa apakah setiap suku xn dan yn terdefinisi dengan baik dan apakah ada aturan yang jelas untuk menentukan suku-suku berikutnya dalam barisan tersebut.

Dari definisi yang diberikan, xn terdefinisi dengan baik untuk setiap n bilangan bulat positif. Untuk menentukan suku berikutnya dalam barisan xn, kita dapat menggunakan rumus rekursif xn+1 = (3n+1)/(2n+3).

Sedangkan untuk yn, terdapat dua definisi yang berbeda tergantung pada nilai n. Namun, setiap suku yn terdefinisi dengan baik untuk setiap n bilangan bulat positif. Untuk menentukan suku berikutnya dalam barisan yn, kita perlu memeriksa apakah n adalah bilangan ganjil atau genap dan menggunakan definisi yang sesuai.

Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa xn dan yn adalah barisan.

Untuk menentukan apakah xn konvergen, kita perlu memeriksa apakah ada batas yang jelas untuk xn ketika n mendekati tak hingga. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan aturan l'Hopital untuk memperoleh:

lim n→∞ xn = lim n→∞ (3n-2)/(2n+1) = lim n→∞ 3/2 = 3/2

Sehingga xn konvergen dan memiliki batas 3/2.

Untuk menentukan supremum dan infimum dari xn dan yn, kita perlu memeriksa nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai oleh setiap barisan.

Untuk xn, kita dapat memperoleh:

xn = (3n-2)/(2n+1) = 3/2 - 7/(4(2n+1))

Sehingga xn terbatas dari bawah oleh -7/4 dan tidak terbatas dari atas. Dengan demikian, supremum dari xn tidak terdefinisi dan infimumnya adalah -7/4.

Sedangkan untuk yn, terdapat dua definisi yang berbeda tergantung pada nilai n. Namun, kita dapat memeriksa nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai oleh setiap definisi.

Untuk yn dengan n ganjil, kita dapat memperoleh:

yn = 1/n

Sehingga yn terbatas dari atas oleh 1 dan tidak terbatas dari bawah. Dengan demikian, supremum dari yn adalah 1 dan infimumnya tidak terdefinisi.

Sedangkan untuk yn dengan n genap, kita dapat memperoleh:

yn = n/(n+2) = 1 - 2/(n+2)

Sehingga yn terbatas dari atas oleh 1 dan terbatas dari bawah oleh 1/2. Dengan demikian, supremum dari yn adalah 1 dan infimumnya adalah 1/2.

jadikan jawaban saya yang terbaik

semoga bermanfaat