Question

wykaż że ciąg jest rosnący
-n-5/n+2 poprzez różnicę wyrazu an+1 i an - n+2 jest pod kreską ułamkową

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]a_n=\frac{-n-5}{n+2}[/tex]

[tex]a_{n+1}=\frac{-(n+1)-5}{n+1+2} =\frac{-n-1-5}{n+3}=\frac{-n-6}{n+3}[/tex]

badamy znak różnicy aₙ₊₁-aₙ:

[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{-n-6}{n+3} -\frac{-n-5}{n+2} =\frac{-n-6}{n+3} +\frac{n+5}{n+2} =\frac{(-n-6)(n+2)+(n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)} =\\=\frac{-n^2-2n-6n-12+n^2+3n+5n+15}{(n+3)(n+2)} =\frac{3}{(n+3)(n+2)}[/tex]>0

Dla każdego n naturalnego wyrażenie jest dodatnie, więc aₙ₊₁-aₙ>0,

zatem ciąg aₙ jest rosnący.

(licznik jest dodatni i mianownik dla każdego n∈N+ jest dodatni)

Answer 2

Jeśli w liczniku lub mianowniku ułamka jest cokolwiek więcej niż pojedyncza liczba, to w zapisie ciągłym (z / jako kreską ułamkową) cały ten licznik/mianownik musi zostać ujęty w nawias.

Czyli jeśli nie potrafisz korzystać z edytora równań, zapis powinien wyglądać tak:  (-n-5)/(n+2)

Ciąg rosnący

to ciąg w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli różnica między następnym wyrazem, a poprzednim jest dodatnia.

Mamy dany n-ty wyraz ciągu [tex](a_n)[/tex]:   [tex]a_n=\dfrac{-n-5}{n+2}[/tex]

Wyznaczamy następny wyraz tego ciągu {[tex]a_{n+1}[/tex]}:

[tex]a_{n+1}=\dfrac{-(n+1)-5}{(n+1)+2}=\dfrac{-n-1-5}{n+1+2}=\dfrac{-n-6}{n+3}[/tex]

Wyznaczmy różnicę:

[tex]a_{n+1}-a_n=\dfrac{-n-6}{n+3}-\dfrac{-n-5}{n+2}=\dfrac{(-n-6)(n+2)}{(n+3)(n+2)}-\dfrac{(-n-5)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\\\\\\=\dfrac{-n^2-2n-6n-12-(-n^2-3n-5n-15)}{(n+2)(n+3)}=\\\\\\=\dfrac{-n^2-8n-12+n^2+8n+15}{(n+2)(n+3)}\\\\\\a_{n+1}-a_n=\dfrac{3}{(n+2)(n+3)}[/tex]

n jest liczbą naturalną dodatnią, czyli n+2 i n+3 również są dodatnimi liczbami naturalnymi.

Iloczyn dodatnich liczb naturalnych również jest dodatnią liczbą naturalną.

3 jest liczbą dodatnią.

Ułamek, którego licznik i mianownik są dodatnie jest dodatni.

Zatem różnica [tex]a_{n+1}-a_n=\frac{3}{(n+2)(n+3)}[/tex] jest dodatnia, czyli ciąg [tex](a_n)[/tex] jest rosnący.

                                                Co należało uzasadnić.