Question

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an= -2n/n+1. Czy ciąg an jest monotoniczny, ograniczony? Uzasadnij odpowiedź. (Obliczenia)

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]a_n=\frac{-2n}{n+1}[/tex]

[tex]a_{n+1}=\frac{-2(n+1)}{n+1+1}=\frac{-2n-2}{n+2}[/tex]

badamy znak różnicy aₙ₊₁-aₙ dla n∈N+:

[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{-2n-2}{n+2} -\frac{-2n}{n+1} =\frac{(-2n-2)(n+1)+2n(n+2)}{(n+2)(n+1)} =\frac{-2n^2-2n-2n-2+2n^2+4n}{(n+2)(n+1)}=\frac{-2}{(n+2)(n+1)}[/tex]

Liczniki jest liczbą ujemną a mianownik dla każdego n∈N+ jest dodatni, więc różnica aₙ₊₁-aₙ<0, zatem ciąg jest malejący.

[tex]\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-2n}{n+1} =-2 \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=-2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n} } =-2*\frac{1}{1} =-2[/tex]

Ciąg ma granicę, więc jest zbieżny, więc jest ograniczony.