Question

1.Jest wyraz ciągu (an). Które wyrazy tego ciągu są ujemne : an=2n-6/n+1
2.zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (an):an= 2n+3/n+1

Answer 1

1. Aby znaleźć wyrazy ujemne ciągu \(a_n = \frac{2n - 6}{n + 1}\), musimy zbadać, dla których wartości \(n\) licznik i mianownik mają przeciwne znaki.

\(\frac{2n - 6}{n + 1} < 0\)

Licznik \(2n - 6\) jest ujemny dla \(n < 3\), a mianownik \(n + 1\) jest dodatni dla \(n > -1\). Zatem ciąg \(a_n\) jest ujemny dla \(n < 3\) i \(n > -1\).

2. Aby zbadać monotoniczność ciągu \(a_n = \frac{2n + 3}{n + 1}\), możemy analizować znak wyrażenia \(a_{n+1} - a_n\).

\(a_{n+1} - a_n = \frac{2(n+1) + 3}{(n+1) + 1} - \frac{2n + 3}{n + 1}\)

Po przekształceniach otrzymujemy:

\(a_{n+1} - a_n = \frac{2n + 5}{n + 2}\)

Zauważ, że licznik i mianownik tego wyrażenia są dodatnie dla wszystkich \(n\), więc ciąg \(a_n\) jest niemalejący dla wszystkich \(n\). Jednakże, aby potwierdzić, że jest to ciąg rosnący, musiałoby to wynikać z analizy znaku \(a_{n+1} - a_n\), co wymagałoby bardziej szczegółowych kroków, takich jak rozwiązanie nierówności.

Podsumowując, ciąg \(a_n = \frac{2n - 6}{n + 1}\) jest ujemny dla \(n < 3\) i \(n > -1\), natomiast ciąg \(a_n = \frac{2n + 3}{n + 1}\) jest niemalejący.