Mohon bantuannya
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² dan garis y = 2 - x.
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi garis y = x + 1 dan fungsi I garis y = 3-x ( jika terbentuk dua luasan dan dua kondisi batas bisa dihitung satu satu).
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² dan garis y = 2 - x.
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi garis y = x + 1 dan fungsi I garis y = 3-x ( jika terbentuk dua luasan dan dua kondisi batas bisa dihitung satu satu).
Jawaban:
1. -1/3
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan garis, kita perlu mencari titik potong antara kedua fungsi tersebut. Titik potong tersebut akan menjadi batas dari daerah yang diinginkan.
1. Parabola y = x² dan garis y = 2 - x:
Pertama, kita mencari titik potong antara kedua fungsi:
x² = 2 - x
Mengubah persamaan menjadi bentuk kuadrat:
x² + x - 2 = 0
Memfaktorkan persamaan:
(x + 2)(x - 1) = 0
Maka titik potong antara kedua fungsi terletak pada x = -2 dan x = 1.
Selanjutnya, kita mencari luas daerah yang dibatasi oleh kedua fungsi tersebut. Kita akan menghitung integral dari fungsi garis minus fungsi parabola di antara titik potong:
Luas = ∫[a,b] (2 - x - x²) dx, dengan a = -2 dan b = 1
Menghitung integral:
Luas = [2x - (x²/2) - (x³/3)]|[a,b]
Luas = [(2(1) - (1²/2) - (1³/3)) - (2(-2) - ((-2)²/2) - ((-2)³/3))]
Luas = [(2 - 1/2 - 1/3) - (-4 + 2 - 8/3)]
Luas = [6/6 - 12/6 + 2/6 - 2/6 - 1/2 + 2/3]
Luas = [3/6 - 9/6 + 4/6]
Luas = -2/6 = -1/3
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² dan garis y = 2 - x adalah -1/3 satuan persegi.
2. Fungsi garis y = x + 1 dan fungsi garis y = 3 - x:
Kedua fungsi tersebut saling berpotongan pada suatu titik.
Mencari titik potong:
x + 1 = 3 - x
Mengubah persamaan menjadi bentuk kuadrat:
2x = 2
Maka titik potong antara kedua fungsi terletak pada x = 1.
Untuk kasus ini, terdapat dua luas daerah yang dibatasi oleh kedua fungsi. Kita perlu mencari luas masing-masing bagian di atas dan di bawah garis
a. Luas di atas garis:
Untuk mencari luas di atas garis, kita harus mempertimbangkan fungsi y = 3 - x sebagai batas atas dan fungsi y = x + 1 sebagai batas bawah.
Luas atas = ∫[a,b] (3 - x - (x + 1)) dx, dengan a = 1 dan b = 2
Menghitung integral:
Luas atas = [(3x - (x²/2)) - (x + x²/2)]|[a,b]
Luas atas = [(3(2) - ((2)²/2))