Mohon bantuannya :) Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2+y2-4x-6y-7=0 yang sejajar garis.... Question from @sri11

sri11 @sri11

October 2018 1 67 Report

Mohon bantuannya :)
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2+y2-4x-6y-7=0 yang sejajar garis 2y=4x-7 adalah

hakimium

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 4x - 6y - 7 = 0 yang sejajar garis 2y = 4x - 7 adalah ...

Jawaban

Pendahuluan

Ini merupakan persoalan mengenai lingkaran. Ingat, bentuk eksplisit lingkaran adalah $\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$ dengan pusat di P(a, b) dan jari-jari r. Sedangkan bentuk implisit lingkaran adalah $\boxed{x^2+y^2+Ax+By+C=0}$ , dengan hubungan $\boxed{A=-2a~|~B=-2b~|~C=a^2+b^2-r^2 }$ .

Bentuk persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m adalah $\boxed{y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2} }$ .

Pembahasan

Step-1: siapkan pusat dan jari-jari lingkaran

x² + y² - 4x - 6y - 7 = 0 ⇒ A = -4, B = -6, dan C = -7

Karena A = -2a ⇒ -4 = -2a, diperoleh absis titik pusat a = 2.

Karena B = -2b ⇒ -6 = -2b, diperoleh ordinat titik pusat b = 3.

C = a² + b² - r² ⇒ $\boxed{r=\sqrt{a^2+b^2-C} }$

$r=\sqrt{2^2+3^2-(-7)} }$

Diperoleh jari-jari r = √20 atau r = 2√5.

Step-2: siapkan gradien garis singgung

Hubungan gradien dua garis saling sejajar adalah $\boxed{m_1=m_2}$ . Terlebih dahulu kita tentukan gradien garis 2y = 4x - 7.

⇔ 2y = 4x - 7 .... kedua ruas dibagi dua

⇔ y = 2x - 3,5 ⇒ diperoleh gradien m₂ = 2.

Gradien garis singgung lingkaran adalah m₁ = m₂ = 2.

Final step: membentuk persamaan garis singgung lingkaran

Substitusikan data-data pusat lingkaran P(2, 3), jari-jari r = 2√5, dan gradien m = 2 ke dalam format $\boxed{y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}}$ .

⇔ $y-3=2(x-2)\pm 2\sqrt{5}(\sqrt{1+2^2})$

⇔ $y-3=2x-4\pm 2\sqrt{5}(\sqrt{5})$

⇔ $y-3=2x-4\pm 10$

Persamaan garis singgung lingkaran yang pertama adalah

y - 3 = 2x - 4 + 10 ⇒ y = 2x + 9

Persamaan garis singgung lingkaran yang kedua adalah

y - 3 = 2x - 4 - 10 ⇒ y = 2x - 11

Kesimpulan

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh dua buah garis singgung lingkaran, yakni $\boxed{y=2x+9~atau~2x-y+9=0}$ dan $\boxed{y=2x-11~atau~2x-y-11=0}.$