Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan [tex]$\frac{x+3}{x^2-4} \geq 0$[/tex], kita dapat menggunakan metode pecahan parsial dan mencari titik-titik kritisnya.
Langkah pertama adalah mencari titik-titik kritisnya, yaitu ketika penyebut dan pembilangnya sama dengan nol.
Selanjutnya, kita akan menggunakan metode pecahan parsial untuk menentukan tanda dari pecahan [tex]$\frac{x+3}{x^2-4}$[/tex] pada interval-interval yang terbentuk oleh titik-titik kritis ini.
Interval 1: [tex]$(-\infty, -3)$[/tex]
Pilih suatu nilai [tex]x[/tex] yang berada di dalam interval ini, misalnya
[tex]$x = -4$[/tex] Substitusikan ke dalam pecahan
Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan [tex]$\frac{x+3}{x^2-4} \geq 0$[/tex], kita dapat menggunakan metode pecahan parsial dan mencari titik-titik kritisnya.
Langkah pertama adalah mencari titik-titik kritisnya, yaitu ketika penyebut dan pembilangnya sama dengan nol.
1) Menyamakan penyebut dengan nol:
[tex]$x^2 - 4 = 0$[/tex][tex]$(x+2)(x-2) = 0$[/tex]
[tex]$x = -2 \: atau \: x = 2$[/tex]
2) Menyamakan pembilang dengan nol:
[tex]$x + 3 = 0$[/tex]
[tex]$x = -3$[/tex]
Titik-titik kritis yang ditemukan adalah
[tex]$x = -3, -2, 2$[/tex]
Selanjutnya, kita akan menggunakan metode pecahan parsial untuk menentukan tanda dari pecahan [tex]$\frac{x+3}{x^2-4}$[/tex] pada interval-interval yang terbentuk oleh titik-titik kritis ini.
Interval 1: [tex]$(-\infty, -3)$[/tex]
Pilih suatu nilai [tex]x[/tex] yang berada di dalam interval ini, misalnya
[tex]$x = -4$[/tex] Substitusikan ke dalam pecahan
[tex]$\frac{x+3}{x^2-4}$[/tex]:
[tex]$\frac{-4+3}{(-4)^2-4} = \frac{-1}{12}$[/tex]
Karena pecahan ini negatif, interval ini tidak memenuhi pertidaksamaan.
Interval 2:
[tex]$(-3, -2)$[/tex]
Pilih suatu nilai
[tex]x[/tex]yang berada di dalam interval ini, misalnya
[tex]$x = -2.5$[/tex]. Substitusikan ke dalam pecahan
[tex]$\frac{x+3}{x^2-4}$[/tex]:
[tex]$\frac{-2.5+3}{(-2.5)^2-4} = \frac{0.5}{1.25-4} = \frac{0.5}{-2.75}$[/tex]
Karena pecahan ini positif, interval ini memenuhi pertidaksamaan.
Interval 3:
[tex]$(-2, 2)$[/tex]
Pilih suatu nilai
[tex]x[/tex]yang berada di dalam interval ini, misalnya
[tex]$x = 0$[/tex]. Substitusikan ke dalam pecahan
[tex]$\frac{x+3}{x^2-4}$[/tex]:
[tex]$\frac{0+3}{(0)^2-4} = \frac{3}{-4}$[/tex]
Karena pecahan ini negatif, interval ini tidak memenuhi pertidaksamaan.
Interval 4:
[tex]$(2, \infty)$[/tex]
Pilih suatu nilai
[tex]x[/tex]yang berada di dalam interval ini, misalnya
[tex]$x = 3$[/tex]. Substitusikan ke dalam pecahan
[tex]$\frac{x+3}{x^2-4}$[/tex]:
[tex]$\frac{3+3}{(3)^2-4} = \frac{6}{5}$[/tex]
Karena pecahan ini positif, interval ini memenuhi pertidaksamaan.
Berdasarkan analisis di atas, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
[tex]$\frac{x+3}{x^2-4} \geq 0$[/tex] adalah union dari interval 2 dan interval 4, yaitu
[tex]$(-3, -2) \cup (2, \infty)$[/tex].