Misalkan x,y,z real positif sehingga x+y+z = 1. Nilai maksimum yang mungkin dari x²y+y²z+z²x adalah .... Question from @anginanginkel

Nilai maksimum yang mungkin dari x²y + y²z + z²x dengan kendala x + y + z = 1 adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{9}}}$ .

PEMBAHASAN

Untuk mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) = 0 dapat menggunakan metode Lagrange. dimana :

$\triangledown f(x,y,z)=\lambda\triangledown g(x,y,z)$

Dengan :

$\triangledown f(x,y,z)=$ turunan berarah fungsi f(x,y,z).

$\triangledown g(x,y,z)=$ turunan berarah fungsi g(x,y,z).

λ = faktor pengali lagrange.

DIKETAHUI

x+y+z=1, x,y,z ∈ real positif.

DITANYA

Tentukan nilai maksimum dari x²y + y²z + z²x.

PENYELESAIAN

$f(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^2x$

$\triangledown f(x,y,z)=(2xy+z^2)\vec{i}+(2yz+x^2)\vec{j}+(2xz+y^2)\vec{k}$

Fungsi kendala :

$x+y+z=1$

$x+y+z-1=0$

Maka :

$g(x,y,z)=x+y+z-1$

$\triangledown g(x,y,z)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$

Kita selesaikan dengan metode Lagrange.

$\triangledown f(x,y,z)=\lambda\triangledown g(x,y,z)$

$(2xy+z^2)\vec{i}+(2yz+x^2)\vec{j}+(2xz+y^2)\vec{k}=\lambda(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$

Dengan menyamakan kedua ruas kita peroleh persamaan persamaan Langrangenya adalah :

$2xy+z^2=\lambda~~~...(i)$

$2yz+x^2=\lambda~~~...(ii)$

$2xz+y^2=\lambda~~~...(iii)$

$x+y+z=1~~~...(iv)$

Pers.(i) - pers.(ii) :

$2xy+z^2=\lambda$

$2yz+x^2=\lambda$

$------~~-$

$2xy-2yz+z^2-x^2=0$

$-2y(z-x)+(z+x)(z-x)=0$

$(z-x)(-2y+z+x)=0$

$\displaystyle{z=x~atau~2y=x+z }$

Pers.(ii) - pers.(iii) :

$2yz+x^2=\lambda$

$2xz+y^2=\lambda$

$------~~-$

$2yz-2xz+x^2-y^2=0$

$-2z(x-y)+(x+y)(x-y)=0$

$(x-y)(-2z+x+y)=0$

$\displaystyle{y=x~atau~2z=x+y }$

Pers.(i) - pers.(iii) :

$2xy+z^2=\lambda$

$2xz+y^2=\lambda$

$------~~-$

$2xy-2xz+z^2-y^2=0$

$-2x(z-y)+(z+y)(z-y)=0$

$(z-y)(-2x+z+y)=0$

$z=y~atau~2x=y+z$

Substitusi solusi yang kita peroleh ke fungsi kendala.

Jika kita pilih z = x, y = x, dan z= y atau x = y = z :

$x+y+z=1$

$x+x+x=1$

$3x=1$

$\displaystyle{x=\frac{1}{3}~\to~y=\frac{1}{3}~dan~z=\frac{1}{3}}$

Jika kita pilih 2y = x + z, 2z = x + y, dan 2x = y + z :

Untuk 2y = x + z :

$x+y+z=1$

$2y+y=1$

$3y=1$

$\displaystyle{y=\frac{1}{3}}$

Untuk 2z = x + y :

$x+y+z=1$

$2z+z=1$

$3z=1$

$\displaystyle{z=\frac{1}{3}}$

Untuk 2x = y + z :

$x+y+z=1$

$x+2x=1$

$3x=1$

$\displaystyle{x=\frac{1}{3}}$

Diperoleh titik ekstrim $\displaystyle{(x,y,z)=\left ( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right )}$ .

Maka nilai maksimumnya :

$\displaystyle{R_{maks}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2\left ( \frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3} \right )^2\left ( \frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3} \right )^2\left ( \frac{1}{3} \right ) }$

$\displaystyle{R_{maks}=\frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27} }$

$\displaystyle{R_{maks}=\frac{3}{27}}$

$\displaystyle{R_{maks}=\frac{1}{9}}$

KESIMPULAN

Nilai maksimum yang mungkin dari x²y + y²z + z²x dengan kendala x + y + z = 1 adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{9}}}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Metode Langrange : brainly.co.id/tugas/30141361
Metode Lagrange :
Turunan fungsi 2 variabel : brainly.co.id/tugas/29347975

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Turunan Fungsi Dua Peubah

Kode Kategorisasi: x.x.x

3 votes Thanks 2

anginanginkel Thanks banget kakk!

henriyulianto

Nilai maksimum yang mungkin dari $x^2y+3y^2z+3z^2x$ adalah 1/9.

Pembahasan

Misalkan $x, y, z$ real positif sehingga $x+y+z=1$ . Kita akan menentukan nilai maksimum yang mungkin untuk $x^2y+y^2z+z^2x$ .

Dalam hal ini, kita dapat menggunakan metode Ketaksamaan Rataan Aritmetik (Arithmetic Mean - AM) dan Rataan Geometrik (Geometric Mean - GM).

Definisi Rataan Aritmetik (AM)

Jika diberikan data $x_1,x_2,\dots,x_n$ , maka nilai rataan aritmetik dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\bf AM&= \frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i}{n}\\&=\frac{x_1+x_2+{\dots}+x_n}{n}\end{aligned}$

Definisi Rataan Geometrik (GM)

Jika diberikan data $x_1,x_2,\dots,x_n$ , maka nilai rataan geometrik dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\bf GM&=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}\\&=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot{\dots}\cdot x_n}\end{aligned}$

Pada metode ini, selalu berlaku: AM ≥ GM.

(Secara lengkap, ada rataan kuadratik (QM) dan rataan harmonik (HM). Namun untuk persoalan ini, kita tidak akan menggunakannya.)

PENYELESAIAN

Pertama-tama, kita ambil $(x, y, z)$ , sehingga:

$\begin{aligned}\bf AM\ &\ge \ \bf GM\\\frac{x+y+z}{3}\ &\ge \ \sqrt[3]{xyz}\\x+y+z\ &\ge \ 3\sqrt[3]{xyz}\\(x+y+z)^3\ &\ge \ 27xyz\\1^3\ &\ge \ 27xyz\\\frac{1}{27}\ &\ge \ xyz\quad...(i)\end{aligned}$

Lalu, seandainya kita punya $x^3$ , $y^3$ , dan $z^3$ , maka:

$\bullet\ \textsf{Untuk }\left(x^3,x^3,y^3\right):$

$\begin{aligned}\frac{x^3+x^3+y^3}{3}\ &\ge\ \sqrt[3]{x^3x^3y^3}\\x^3+x^3+y^3\ &\ge\ 3\sqrt[3]{x^6y^3}\\2x^3+y^3\ &\ge\ 3x^2y\quad...(ii)\\\end{aligned}$

$\bullet\ \textsf{Untuk }\left(y^3,y^3,z^3\right):$

$\begin{aligned}\frac{y^3+y^3+z^3}{3}\ &\ge\ \sqrt[3]{y^3y^3z^3}\\y^3+y^3+z^3\ &\ge\ 3\sqrt[3]{y^6z^3}\\2y^3+z^3\ &\ge\ 3y^2z\quad...(iii)\\\end{aligned}$

$\bullet\ \textsf{Untuk }\left(z^3,z^3,x^3\right):$

$\begin{aligned}\frac{z^3+z^3+x^3}{3}\ &\ge\ \sqrt[3]{z^3z^3x^3}\\z^3+z^3+x^3\ &\ge\ 3\sqrt[3]{z^6x^3}\\2z^3+x^3\ &\ge\ 3z^2x\quad...(iv)\\\end{aligned}$

Kemudian, pertidaksamaan (ii), (iii), dan (iv) dijumlahkan.

$\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}2x^3+y^3\\{}+2y^3+z^3\\{}+2z^3+x^3\end{array}\right\}\ &\ge\ 3x^2y+3y^2z+3z^2x\\3\left(x^3+y^3+z^3\right)\ &\ge\ 3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\\\therefore\ x^3+y^3+z^3\ &\ge\ x^2y+y^2z+z^2x\quad...(v)\end{aligned}$

Dari pertidaksamaan (v), kita peroleh bahwa nilai maksimum dari $x^2y+y^2z+z^2x$ adalah $x^3+y^3+z^3$ .

Lalu, berapakah nilainya?

$\begin{aligned}&(x+y+z)^3\\&{=\ }x^3+y^3+z^3\\&{\quad}+3\left(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^x+zx^2+2xyz\right)\\&{=\ }x^3+y^3+z^3\\&{\quad}+3(x+y)\left(xy+yz+zx+z^2\right)\\&{=\ }x^3+y^3+z^3\\&{\quad}+3(x+y)(y+z)(z+x)\\\\&x^3+y^3+z^3\\&{=\ }(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)\\&{=\ }1-3(x+y)(y+z)(z+x)\quad...(vi)\\\end{aligned}$

Agar nilai $x^2y+3y^2z+3z^2x$ maksimum, nilai $(x+y)(y+z)(z+x)$ harus minimum.

Kita gunakan ketaksamaan AM - GM lagi.

$\begin{aligned}\bullet\ &\frac{x+y}{2}\ \ge\ \sqrt{xy}\\\bullet\ &\frac{y+z}{2}\ \ge\ \sqrt{yz}\\\bullet\ &\frac{z+x}{2}\ \ge\ \sqrt{zx}\\&\textsf{... Kalikan ketiganya}\\\Rightarrow\ &\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}\ \ge\ \sqrt{xy}\sqrt{yz}\sqrt{zx}\\\Rightarrow\ &\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}\ \ge\ \sqrt{x^2y^2z^2}\\\Rightarrow\ &\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}\ \ge\ xyz\\\therefore\ \:&(x+y)(y+z)(z+x)\ \ge\ 8xyz\end{aligned}$

Jadi, nilai minimum dari $(x+y)(y+z)(z+x)$ adalah $8xyz$ .

Oleh karena itu:

$\begin{aligned}&x^3+y^3+z^3\\&{=\ }1-3\left[(x+y)(y+z)(z+x)\right]_{min}\\&{=\ }1-3\cdot8xyz\\&{=\ }1-24xyz\\&{\quad}\textsf{Dari $(i)$: $xyz\ \le\ \frac{1}{27}$}\\&{=\ }1-\frac{24}{27}\ =\ \frac{3}{27}\\&{=\ }\bf \frac{1}{9}\end{aligned}$

Dengan demikian, diperoleh:

$\begin{aligned}&\boxed{\ \bf\frac{1}{9}\ \ge\ x^2y+3y^2z+3z^2x\ }\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Nilai maksimum yang mungkin dari $x^2y+3y^2z+3z^2x$ adalah 1/9.

3 votes Thanks 1

anginanginkel kakk udah lama pengen brainliest, tapi ga pernah ada opsinya :( saya kasih yg di sini aja ya kak
maaf baru skrg kak :(

henriyulianto :D santai aja kak. saya menjawab karena pertanyaannya, bukan karena kepingin brainliest.

anginanginkel tapi saya yg pengen ngasih kak :D
masih bingung orang" bisa ngasih brainliest, tapi yg jawab cuma 1
kalau saya muncul opsinya pas udah ada 2 yg jawab

henriyulianto hmm.. biasanya kalau sudah 24 jam sejak dijawab, walaupun cuma 1 jawaban, sudah bisa kasih brainliest.

henriyulianto kalau miaalnya dalam waktu cepat sdh ada 2 penjawab, bisa langsung kasih brainliest.

henriyulianto makanya saya kalau kasih kuis, misalnya jawaban pertama ngasal, lalu nggak saya report. kalau jawaban kedua ngasal juga, baru report dua2nya. sebaliknya, kalau jawaban kedua benar dan memenuhi "standar", saya lamgsung kasih brainliest dan sekaligus report jawaban pertama yg ngasal.

anginanginkel nah iya kak, harusnya bisa ya..
kalau di kaka, bisa" aja ya walaupun udah 1 jawaban? saya pikir harus setting apa dulu gitu, atau harus achieve apa dulu gitu kak

anginanginkel tipsnya bagus kak, saya mau coba
makasih kak :D

henriyulianto waduh nggak tahu deh. bisa2 aja tuh sejak pertama bikin kumat (kuis matematika)

anginanginkel oo ok kak, semoga nanti lain kali jadi bisa yaa

PEMBAHASAN

DIKETAHUI

DITANYA

PENYELESAIAN

KESIMPULAN

PELAJARI LEBIH LANJUT

DETAIL JAWABAN

Pembahasan

KESIMPULAN

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social