Question

mega pilne ‼️ ‼️ ‼️ ‼️

1podaj pozostałe funkcje trygonometryczne kąta ostrego alfa jeśli
a) sin alfa ⅓
b) cos alfa ⅖
c) tq alfa 3

2 napisz równanie prostej przechodzącej przez punk (3,4) oraz
a) równoległej do prostej y=½x +4
b) prostopadłej do prostej y=1.5x -7.5

3 dla funkcji f(x) =x² -6x+5 podaj

a) miesiące zerowe
b) współrzędne wierzchołków
c) zbiór wartości
d) przedziały monotoniczności


4 zapisz w postaci a√b i b€N+
a) 2√45 + 3√20
b) √50-2√32
​

Answer 1

Odpowiedź:

zad 1

a)

sinα = 1/3

sin²α = (1/3)² = 1/9

sin²α = 1 - cos²α

1 - cos²α = 1/9

cos²α = 1 - 1/9 = 9/9 - 1/9 = 8/9

cos²α = √(8/9) = √8/3 = √(4 * 2)/3 = 2√2/3

tg²α = sinα/cosα = 1/3 : 2√2/3 = 1/3 * 3/2√2 = 1/2√2 = √2/(2 * 2) = √2/4

ctgα = 1/tgα = 4/√2 = 4√2/2 = 2√2

b)

cosα = 2/5

cos²α = (2/5)² = 4/25

cos²α = 1 - sin²α

1 - sin²α = 4/25

sin²α = 1 - 4/25 = 25/25 - 4/25 = 21/25

sinα = √(21/25) = √21/5

tgα = sinα/cosα = √21/5 : 2/5 = √21/5 * 5/2 = √21/2

ctgα = 1/tgα = 2/√21 = 2√21/21

c)

tgα = 3

sinα/cosα = 3

sin²α/cos²α = 3² = 9

sin²α = 9cos²α = 9(1 - sin²α) = 9 - 9sin²α

sin²α + 9sin²α = 9

10sin²α = 9

sin²α = 9/10

sinα = √(9/10) = 3/√10 = 3√10/10

cos²α = 1 - sin²α = 1 - [(3√10)/10]² = 1 - 9 * 10/100 = 1 - 90/100 = 1 - 9/10 =

= 1/10

cosα = √(1/10) = 1/√10 = √10/10

tgα = 3

ctgα = 1/tgα = 1/3

zad 2

a)

y = 1/2x + 4 , A = ( 3 , 4 )

a₁ - współczynnik kierunkowy prostej = 1/2

b₁ - wyraz wolny = 4

Warunek równoległości prostych

a₁ = a₂

Prosta równoległa ma postać :

y = a₂x + b₂ = 1/2x + b₂

Ponieważ podany punkt należy do prostej , więc spełnia warunki równania

y = 1/2x + b₂ , A = (3 , 4 )

4 = 1/2 * 3 + b₂

4 = 3/2 + b₂

b₂ = 4 - 3/2 = 4 - 1 1/2 = 3 2/2 - 1 1/2 = 3 1/2

y = 1/2x + 3 1/2 = 0,5x + 3,5

b)

y = 1,5x - 7,5 , A = ( 3 , 4 )

a₁ = 1,5

b₁ = - 7,5

Warunek prostopadłości prostych

a₁ * a₂ = - 1

a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : 1,5 =  - 1 * 10/15 = - 1 * 2/3 = - 2/3

Prosta prostopała ma postać :

y = a₂x + b₂ = (- 2/3)x + b₂

Ponieważ podany punkt należy do prostej prostopadłej , więc spełnia warunki równania

y = (- 2/3)x + b₂ , A = (3 , 4 )

4 = - 2/3 * 3 + b₂

4 = - 2 + b₂

b₂ = 4 + 2 = 6

y = (- 2/3)x + 6

zad 3

f(x) = x² - 6x + 5

a = 1 , b = - 6 , c = 5

a)

Δ = b² - 4ac = (- 6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

√Δ = √16 = 4

x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (6 - 4)/2 = 2/2 = 1

x₂ = (- b + √Δ)/2a = (6 + 4)/2 = 10/2 = 5

b)

W - współrzędne wierzchołka = (p , q)

p = - b/2a = 6/2 = 3

q = - Δ/4a = - 16/4 = - 4

W = (p , q) = ( 3 , - 4)

c)

a > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry

ZWf: y ∈ < - 4 , + ∞ )

d)

f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ ( - ∞ , 3 >

f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ < 3 , + ∞ )

zad 4

a)

2√45 + 3√20 = 2√(9 * 5) + 3√(4 * 5) = 2 * 3√5 + 3 * 2√5 = 6√5 + 6√5 =

= 12√5

b)

√50 - 2√32 = √(25 * 2) - 2√(16 *2) = 5√2 - 2 * 4√2 = 5√2 - 8√2 = - 3√2