MATURA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
ZAD 1
20 drużyn uczestniczących w turnieju rozdzielono losowo na 2 równoliczne drużyny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dwie ustalone drużyny znajdą się: a) w różnych grupach b) w tej samej grupie.
ZAD 2
W urnie znajduje się 10 kul białych i 20 czarnych. Losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że druga z wylosowanych kul będzie biała.
ZAD 3
W sali egzaminacyjnej posadzono losowo w jednym rzędzie 10 uczniów, w tym 2 z tej samej klasy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że nie siedzą obok siebie?
ZAD 4
Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że choć raz wypadnie reszka?
ZAD 1
20 drużyn uczestniczących w turnieju rozdzielono losowo na 2 równoliczne drużyny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dwie ustalone drużyny znajdą się: a) w różnych grupach b) w tej samej grupie.
ZAD 2
W urnie znajduje się 10 kul białych i 20 czarnych. Losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że druga z wylosowanych kul będzie biała.
ZAD 3
W sali egzaminacyjnej posadzono losowo w jednym rzędzie 10 uczniów, w tym 2 z tej samej klasy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że nie siedzą obok siebie?
ZAD 4
Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że choć raz wypadnie reszka?
Odpowiedź:
Zad 3)
|Ω|=10!
A- uczniowie nie siedzą obok siebie
Policzmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego tzn. że siedzą obok
A'- uczniowie siedzą obok siebie
Można sobie wyobrazić że są połączeni w jeden element (np. trzymają się za ręce ) wtedy mamy 9 elementów więc permutują na 9! ,ale jeszcze tych dwóch może siedzieć z lewej lub z prawej czyli 2!
|A'|=9!*2!
[tex]\displaystyle P(A')=\frac{|A'|}{|\Omega|} =\frac{9!\cdot2!}{10!} =\frac{2}{10}= \frac{1}{5} \\P(A)=1-P(A')=1-\frac{1}{5} =\frac{4}{5}[/tex]
Zad 4
[tex]\displaystyle|\Omega|=2^{10} =1024[/tex]
Tu też obliczymy pr. zdarzenia przeciwnego
A'-ani razu nie wypadnie reszka , czyli wypadną same orły
ilość takich zdarzeń będzie równa 1
|A'|=1
[tex]\displaystyle P(A')=\frac{|A'|}{|\Omega|} =\frac{1}{1024} \\P(A)=1-P(A')=1-\frac{1}{1024}=\frac{1023}{1024}[/tex]
Zad 1
Na początek zakładamy ze te dwie równoliczne drużyny są rozróżnialne np. I i II Wybieramy dziesiątkę drużyn z 20 na
[tex]\displaystyle|\Omega|={20 \choose 10}[/tex]
a) dwie ustalone druzyny znajdą się w różnych grupach
dziewiątkę do z 18 do grupy I lub II , czyli nie znamy grupy ,to 2 sposoby
[tex]\displaystyle \|A|=2\cdot{18 \choose 9}[/tex]
[tex]\displaystyle P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} =\frac{2\cdot{18 \choose 9}}{{20 \choose 10}}=\frac{97240}{184756} =\frac{10}{19}[/tex]
b)
B znajdą się w tych smych grupach
P(B)=1-P(A)
[tex]\displaystyle P(B)=1 -P(A)=1-\frac{2\cdot{18 \choose 9}}{{20 \choose 10}}=1-\frac{10}{19} =\frac{9}{19}[/tex]
Robiąc wprost wybieramy grupę na 2 sposoby i dobieramy 8 z pozostałych 18
[tex]\displaystyle \|B|=2\cdot{18 \choose 8}[/tex]
[tex]\displaystyle P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|} =\frac{2\cdot{18 \choose 8}}{{20 \choose 10}}=\ =\frac{9}{19}[/tex]
Zad 2
Prawdopodobieństwo całkowite
A₁-losujemy za 1 razem białą P(A₁)=1/3
A₂-losujemy za 1 razem czarną P(A₂) =2/3
B₁-losujemy za 2 razem białą P(B₁/A₁)=9/29
B₂-losujemy za 1 razem czarną
P(B₁/A₂)=10/29
B₁-za drugim wylosujemy kulę białą
[tex]\displaystyle P(B_1)=P(B_1/A_1)\cdot P(A_1)+P(B_1/A_2)\cdot P(A_2)\\P(B_1)=\frac{9}{29} \cdot \frac{1}{3} +\frac{10}{29} \cdot\frac{2}{3} =\frac{9+20}{3\cdot29} =\frac{1}{3}[/tex]
dorysuj sobie drzewko a lepiej zrozumiesz