Rozwiązanie tej nierówności odczytujemy ze schematycznego wykresu paraboli (ramiona skierowane ku górze, miejsca zerowe to [tex]m=0[/tex] i [tex]$m=\frac{7}{2}[/tex] ). Zatem:
Tutaj czeka nas zabawa ze wzorami Viete'a. Najpierw rozkładamy prawą stronę na czynniki (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów) :
Łatwo zauważyć, że musiałby być spełniony warunek [tex]\Delta_{m}=0[/tex], abyśmy uzyskali [tex]x_{1}-x_{2}=0[/tex], co jest sprzeczne z założeniem. Ostatecznie biorąc pod uwagę wszystkie warunki uzyskuje się:
Verified answer
Odpowiedź:
[tex]$m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Trójmian:
[tex]f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4[/tex]
Zakładamy, że [tex]m \neq -1[/tex] ze względu na istnienie funkcji kwadratowej.
Trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jeżeli:
[tex]\Delta > 0[/tex]
Mamy:
[tex]\Delta_{m}=(2(m-2))^{2}-4 \cdot (m+1) \cdot (-m+4)=[/tex]
[tex]$=4(m^2-4m+4)-4(-m^2+3m+4)=8m^2-28m=4m(2m-7)[/tex]
Czyli musi być spełniony warunek:
[tex]4m(2m-7) > 0[/tex]
Rozwiązanie tej nierówności odczytujemy ze schematycznego wykresu paraboli (ramiona skierowane ku górze, miejsca zerowe to [tex]m=0[/tex] i [tex]$m=\frac{7}{2}[/tex] ). Zatem:
[tex]$m \in (-\infty,0) \cup \Big(\frac{7}{2},\infty\Big)[/tex]
Ponadto:
[tex]x_{1}^2-x^{2}_2=x_1^4-x_2^4[/tex]
Tutaj czeka nas zabawa ze wzorami Viete'a. Najpierw rozkładamy prawą stronę na czynniki (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów) :
[tex]x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)[/tex]
[tex](x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)-(x_1^2-x_2^2)=0[/tex]
[tex](x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2-1)=0[/tex]
[tex](x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-1)=0[/tex]
co jest równoważne z:
[tex]x_1-x_2=0 \vee x_1+x_2=0 \vee x_1^2+x_2^2=1[/tex]
Teraz korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia i wzorów Viete'a :
[tex]$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{2(m-2)}{m+1}=\frac{4-2m}{m+1}=0 \iff m=2 \notin D[/tex]
[tex]$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=\Big(-\frac{b}{a}\Big)^2-2 \cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=[/tex]
[tex]$=\frac{4m^2-16m+16}{(m+1)^2} - \frac{2(-m+4)}{m+1}=1[/tex]
czyli:
[tex]4m^2-16m+16-2(-m+4)(m+1)=(m+1)^2\\[/tex]
[tex]4m^2-16m+16-2(-m^2+3m+4)=m^2+2m+1[/tex]
[tex]6m^2-22m+8=m^2+2m+1[/tex]
[tex]5m^2-24m+7=0[/tex]
[tex]\Delta=576-4 \cdot 5 \cdot 7=436 \implies \sqrt{\Delta}=2\sqrt{109}[/tex]
[tex]$m_{1}=\frac{24-2\sqrt{109}}{10}=\frac{12-\sqrt{109}}{5} \notin D\vee m_{2}=\frac{24+2\sqrt{109}}{10}=\frac{12+\sqrt{109}}{5} \in D[/tex]
Na koniec badamy różnicę:
[tex]$x_{1}-x_{2}=\frac{-2(m-2)-\sqrt{8m^2-28m}}{2(m+1)}-\frac{-2(m-2)+\sqrt{8m^2-28m}}{2(m+1)} =[/tex]
[tex]$=\frac{-2\sqrt{8m^2-28m}}{2(m+1)} =-\frac{\sqrt{8m^2-28m}}{m+1}[/tex]
Łatwo zauważyć, że musiałby być spełniony warunek [tex]\Delta_{m}=0[/tex], abyśmy uzyskali [tex]x_{1}-x_{2}=0[/tex], co jest sprzeczne z założeniem.
Ostatecznie biorąc pod uwagę wszystkie warunki uzyskuje się:
[tex]$m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}[/tex]