Question

MaTH_ Un

i) sebuah polinomial p(x) berderajat tiga dengan koefisien x³ adalah 1
ii) p(x) dibagi ( x+ 1) , (x + 2) , dan (x + 3) masing masing memberika sisa yang sama yaitu 6

Hitung kemungkinan bilangan bulat n sehingga p(n) merupakan bilangan prima

Answer 1

Verified answer

Kalau menurut saya sih tidak ada n sedemikian hingga p(n) prima.

i) P(x) berderajat 3 dengan koefisien x³ adalah 1, misalkan P(x) tersebut adalah :

P(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D, maka karena koefisien x³ satu, maka A juga bernilai satu sehingga :

P(x) = x³ + Bx² + Cx + D

ii) P(x) bersisa 6 jika dibagi (x + 1), (x + 2),(x + 3), maka :

P(-1) = (-1)³+ B(-1)² + C(-1) + D = 6

B - C + D = 7...(1)

P(-2) = (-2)³ + B(-2)² + C(-2) + D = 6

4B - 2C + D = 14...(2)

P(-3) = (-3)³ + B(-3)² + C(-3) + D = 6

9B - 3C + D = 33...(3)

Eliminasikan persamaan (2) dan (1) serta (3) dengan (4) dan didapat persamaan :

3B - C = 7...(4)
5B - C = 19...(5)

Eliminasi lagi (5) dan (4) sehingga :

2B = 12
B = 6

Substitusi B = 6 ke (4), didapat C = 11. Terakhir substitusi nilai itu ke (1) didapatlah D = 12.

Jadi P(x) = x³ + 6x² + 11x + 12.

Ditanyakan pada soal berapa kemungkinan bil.bulat n hingga P(n) prima. Untuk memudahkan perhitungan, P(x) dapat kita nyatakan sebagai :

P(x) = (x + 4)(x² + 2x + 3)

P(n) = (n + 4)(n² + 2n + 3)

Misal saya ambil n = -5, maka :

P(-5) = (-1)(25 - 10 + 3) = -18 (bukan prima)

Jika n = 0, maka P(0) = 12 (bukan prima)

Jika n = 1, maka P(1) = 30 (bukan prima)

Jadi kesimpulannya menurut saya kemungkinan bil.bulat n agar P(n) prima adalah tidak ada.