MATEMATYKA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Nowotwór złośliwy pojawia się w 1 jednym przypadku na 100. Test medyczny wykrywa poprawnie złośliwość w 80% przypadków oraz frakcja wskazań fałszywie pozytywnych testów (wśród przypadków niezlośliwych) wynosi 10%. Przypuśćmy, że test dał wynik pozytywny, czy pacjent w tym przypadku powinien się martwić? tzn. jakie jest prawdopodobieństwo, że nowotwór jest złośliwy?
PROSZĘ O POMOC!
Nowotwór złośliwy pojawia się w 1 jednym przypadku na 100. Test medyczny wykrywa poprawnie złośliwość w 80% przypadków oraz frakcja wskazań fałszywie pozytywnych testów (wśród przypadków niezlośliwych) wynosi 10%. Przypuśćmy, że test dał wynik pozytywny, czy pacjent w tym przypadku powinien się martwić? tzn. jakie jest prawdopodobieństwo, że nowotwór jest złośliwy?
PROSZĘ O POMOC!
Odpowiedź:
Aby rozwiązać to zadanie, można skorzystać z reguły Bayesa, która pozwala obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A (w tym przypadku, że pacjent ma złośliwego nowotworu), mając daną informację o zdarzeniu B (w tym przypadku, że test dał wynik pozytywny). W tym celu potrzebne są trzy wartości:
P(A) - prawdopodobieństwo, że pacjent ma złośliwego nowotworu (1/100)
P(B|A) - prawdopodobieństwo, że test dał wynik pozytywny, jeśli pacjent ma złośliwego nowotworu (80%)
P(B|~A) - prawdopodobieństwo, że test dał wynik pozytywny, jeśli pacjent nie ma złośliwego nowotworu (10%)
W pierwszym kroku obliczymy prawdopodobieństwo, że test dał wynik pozytywny:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)
= 0.8 * 0.01 + 0.1 * 0.99
= 0.107
Następnie, wykorzystując regułę Bayesa, obliczymy prawdopodobieństwo, że pacjent ma złośliwego nowotworu, mając informację o wyniku testu:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
= 0.8 * 0.01 / 0.107
= 0.0748
Oznacza to, że jeśli test dał wynik pozytywny, to prawdopodobieństwo, że pacjent ma złośliwego nowotworu, wynosi około 7,5%.