MATeMAtyka 2. s.158 zadanie 2
a) Najdłuższy bok trójkąta równoramiennego ma długość 15cm a jeden z jego kątów ma miarę 120°. Oblicz obwód tego trójkąta.
b) Kąty ostre trójkąta mają miary 30° i 45° a wysokość opuszczona na najdłuższy bok jest równa 3cm. Oblicz obwód tego trójkąta.
Bardzo proszę o rysunek i dokładne rozpisanie rozwiązania, z góry dzięki :))
a) Najdłuższy bok trójkąta równoramiennego ma długość 15cm a jeden z jego kątów ma miarę 120°. Oblicz obwód tego trójkąta.
b) Kąty ostre trójkąta mają miary 30° i 45° a wysokość opuszczona na najdłuższy bok jest równa 3cm. Oblicz obwód tego trójkąta.
Bardzo proszę o rysunek i dokładne rozpisanie rozwiązania, z góry dzięki :))
a) Obwód trójkąta wynosi [tex]5(3+2\sqrt3)cm[/tex].
b) Obwód trójkąta wynosi [tex]3(1+\sqrt2+\sqrt3)cm[/tex].
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów pozwala znaleźć długość boku trójkąta, jeśli znamy długości pozostałych dwóch boków oraz miarę kąta naprzeciwko szukanego boku.
Oznaczmy w trójkącie długości boków jako a, b i c oraz kąty: naprzeciwko boku a jako [tex]\alpha[/tex], naprzeciwko boku b jako [tex]\beta[/tex] i naprzeciwko boku c jako [tex]\gamma[/tex]. Możemy zapisać następujące równości zgodnie z oznaczeniami:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma[/tex]
Ponadto w zadaniu przydadzą nam się informacje:
[tex]\cos(180^o-\alpha)=-\cos\alpha[/tex];
a) Mamy trójkąt równoramienny, w którym jeden z kątów ma miarę [tex]120^o[/tex] - jest to kąt między ramionami trójkąta. Znamy długość najdłuższego boku tego trójkąta - jest to jego podstawa (ponieważ najdłuższy bok trójkąta zawsze znajduje się naprzeciwko kąta o największej mierze) - ma ona długość 15cm.
Długości ramion znajdziemy, korzystając z twierdzenia cosinusów. Oznaczmy je jako x. Wyznaczymy jeszcze wartość [tex]\cos120^o[/tex]. Z wyżej wspomnianego wzoru mamy:
[tex]\cos120^o=\cos(180^o-60^o)=-\cos60^o=-\frac12[/tex].
Możemy zapisać równanie (z twierdzenia cosinusów):
[tex]15^2=x^2+x^2-2x*x*\cos120^o\\225=2x^2+2x^2*\frac12\\225=2x^2+x^2\\3x^2=225/:3\\x^2=75/\sqrt{}\\x=\sqrt{75}=\sqrt{25*3}=5\sqrt3cm[/tex]
Znamy długości wszystkich boków tego trójkąta, możemy policzyć jego obwód:
[tex]Obw=15+5\sqrt3+5\sqrt3=15+10\sqrt3=5(3+2\sqrt3)cm[/tex]
b) Mamy trójkąt, w którym dwa kąty mają miary [tex]30^o[/tex] i [tex]45^o[/tex]. Trzeci kąt będzie miał miarę
[tex]180^o-30^o-45^o=105^o[/tex].
Znamy długość wysokości opuszczonej na najdłuższy bok tego trójkąta (czyli na bok naprzeciwko kąta [tex]105^o[/tex]) - wynosi ona 3cm. Wysokość ta dzieli nam ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne - jeden z nich ma kąty [tex]30^o,90^o,60^o[/tex], zatem jest to połowa trójkąta równobocznego; drugi ma kąty [tex]45^o,90^o,45^o[/tex], jest to połowa kwadratu.
Znajdźmy długości boków trójkąta o kątach [tex]30^o,60^o,90^o[/tex]. Jeśli przeciwprostokątną tego trójkąta oznaczymy jako a, to jej długość wyznaczymy z równania
[tex]\frac{a\sqrt3}2=3/*2\\a\sqrt3=6/:\sqrt3\\a=\frac6{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}3=2\sqrt3[/tex]
Trzeci bok tego trójkąta ma długość [tex]\frac12*2\sqrt3=\sqrt3[/tex].
Znajdziemy teraz długości boków trójkąta o kątach [tex]45^o,45^o,90^o[/tex]. Jest to trójkąt równoramienny (jedno z jego ramion to wysokość "dużego" trójkąta), zatem jego druga przyprostokątna również ma długość 3cm. Jego przeciw prostokątna ma długość [tex]3\sqrt2cm[/tex].
Znamy wszystkie długości potrzebne do obliczenia szukanego obwodu trójkąta, zatem wynosi on
[tex]Obw=2\sqrt3+\sqrt3+3+3\sqrt2=3+3\sqrt2+3\sqrt3=3(1+\sqrt2+\sqrt3)cm[/tex]
Rysunki do zadań w załączniku.
#SPJ9