Marta y sus amigos pagaron $109000 por 5 hamburguesas y 7 refrescos. Si la semana anterior consumieron
8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta fue de $173000, ¿cuánto cuesta cada hamburguesa y cada refresco?
8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta fue de $173000, ¿cuánto cuesta cada hamburguesa y cada refresco?
El precio de una hamburguesa es de $ 12000
El precio de un refresco es de $ 7000
Solución
Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema basándonos en lo se ha pagado respectivamente por cada uno de los dos consumos que han realizado María y sus amigos
Mediante las ecuaciones determinaremos el precio de una hamburguesa y el precio de un refresco
Llamamos variable "x" al precio de una hamburguesa y variable "y" al precio de un refresco
Donde sabemos que:
Para la primera compra realizada la semana anterior por María y sus amigos estos adquirieron 5 hamburguesas y 7 refrescos pagando por esto un importe total de $ 109000
Y donde para la segunda compra efectuada por María y sus amigos ellos compraron 8 hamburguesas y 11 refrescos abonando por ello un importe total de $ 173000
Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Para la primera compra realizada sumamos las 5 hamburguesas compradas y los 7 refrescos adquiridos para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad abonada por María y sus amigos por la primera compra
[tex]\large\boxed {\bold {5 x \ +\ 7y =109000 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego hacemos el mismo procedimiento para la compra efectuada por María y sus amigos donde sumamos las 8 hamburguesas compradas y los 11 refrescos adquiridos para establecer la segunda ecuación igualándola al monto pagado para la segunda compra
[tex]\large\boxed {\bold {8x \ + \ 11y = 173000 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
En [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {5 x \ +\ 7y =109000 }}[/tex]
Despejamos x
[tex]\boxed {\bold {5 x = 109000\ -\ 7y }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not5x}{\not5} = \frac{109000}{5} -\ \frac{7y}{5} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 21800 -\ \frac{7y}{5} }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 21800 -\ \frac{7y}{5} }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {8x \ + \ 11y = 173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {8 \ . \left(21800 -\frac{7y}{5} \right) \ +\ 11y =173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {174400 -\frac{56y}{5} \ +\ 11y =173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {174400 -\frac{56y}{5} \ +\ 11y\ . \ \frac{5}{5} = 173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {174400 -\frac{56y}{5} \ +\ \frac{55y}{5} = 173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {174400 -\frac{y}{5} = 173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -\frac{y}{5} = 173000 -174400}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -\frac{y}{5} = -1400}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{y}{(-5)} = -1400}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =- 1400 \ . \ - 5}}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = 7000 }}[/tex]
El precio de un refresco es de $ 7000
Hallamos el precio de una hamburguesa
Reemplazando el valor hallado de y en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 21800 -\ \frac{7y}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = 21800 -\ \frac{ \ 7 . \ 7000}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = 21800 -\ \frac{ 49000}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = 21800 -\ \ 9800 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 12000 }}[/tex]
El precio de una hamburguesa es de $ 12000
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {5 x \ +\ 7y =\$ \ 109000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 5 \ hamburguesas \ . \ \$ \ 12000 \ +\ 7 \ refrescos \ \$ \ 7000 = \$ \ 109000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 60000\ + \ \$\ 49000 = \$\ 109000}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 109000 = \$\ 109000 }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {8x \ + \ 11y = \$ \ 173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 8 \ hamburguesas \ . \ \$ \ 12000 \ +\ 11 \ refrescos \ \$ \ 7000 = \$ \ 173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 96000\ + \ \$\ 77000 = \$\ 173000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 173000 = \$\ 173000}}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]