Mamy zbudować zbiornik o objętości 25 m 3
w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratu. Dni zrobione z cementu, ściana boczna z blachy o grubości 1 cm, a pokrywa górna z blachy o grubości 0,5 cm. Koszt wyłania 1 m2 cementu wynosi 7 zł, koszt 1m2 blachy o grubości 1 cm 46 zł, a koszt 1m2 blachy o grubości 0,5 cm 24 zł. Przy jakich wymiarach koszt całkowity zbiornika będzie najmniejszy.
w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratu. Dni zrobione z cementu, ściana boczna z blachy o grubości 1 cm, a pokrywa górna z blachy o grubości 0,5 cm. Koszt wyłania 1 m2 cementu wynosi 7 zł, koszt 1m2 blachy o grubości 1 cm 46 zł, a koszt 1m2 blachy o grubości 0,5 cm 24 zł. Przy jakich wymiarach koszt całkowity zbiornika będzie najmniejszy.
Niech długość boku podstawy kwadratu to x, a wysokość zbiornika to h. Wtedy objętość zbiornika wynosi V = x^2h = 25 m^3.
Pole ściany bocznej wynosi S_sb = 4xh m^2 (bo prostopadłościan ma cztery takie ściany). Pole pokrywy górnej wynosi S_pg = x^2 m^2. Całkowite pole powierzchni zbiornika wynosi więc S = S_sb + S_pg = 4xh + x^2 m^2.
Koszt zbiornika będzie zależał od kosztu zużytych materiałów, czyli cementu i blachy. Koszt zużycia cementu wynosi 7 zł/m^2, a ponieważ na jednostce powierzchni zużywamy x^2 m^2 cementu, to koszt zużycia cementu wynosi 7x^2 zł.
Koszt zużycia blachy wynosi:
46 zł/m^2 dla blachy o grubości 1 cm, a ponieważ na jednostce powierzchni zużywamy 4xh m^2 takiej blachy, to koszt zużycia takiej blachy wynosi 46 * 4xh = 184xh zł,
24 zł/m^2 dla blachy o grubości 0,5 cm, a ponieważ na jednostce powierzchni zużywamy x^2 m^2 takiej blachy, to koszt zużycia takiej blachy wynosi 24x^2/2 = 12x^2 zł.
Całkowity koszt zbiornika to suma kosztów zużycia cementu i blachy, czyli:
K = 7x^2 + 184xh + 12x^2.
Aby znaleźć wymiary, dla których koszt całkowity będzie najmniejszy, musimy znaleźć ekstremum funkcji K(x,h) = 7x^2 + 184xh + 12x^2. Obliczamy pochodne cząstkowe:
K_x = 14x + 184h
K_h = 184x + 14h
Aby znaleźć ekstremum, równujemy pochodne cząstkowe z zerem:
14x + 184h = 0
184x + 14h = 0
Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy x = sqrt(46) m i h = sqrt(46) m. Wymiar podstawy kwadratu i wysokość zbiornika powinny więc wynosić sqrt(46) m, aby koszt całkowity był najmniejszy.
Aby sprawdzić, czy to rzeczywiście minimum, należy obliczyć drugie pochodne cząstkowe:
K_xx = 14, K_hh = 14, K_xh = 184
W punkcie (sqrt(46), sqrt(46)) mamy K_xx * K_hh - K_xh^2 = 0 * 0 - 184^2 < 0, czyli m