Mamy zbudować zbiornik o objętości 25 m 3 w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratu. Dni zrobione z cementu, ściana boczna z blachy o grubości 1 cm, a pokrywa górna z blachy o grubości 0,5 cm. Koszt wyłania 1 m2 cementu wynosi 7 zł, koszt 1m2 blachy o grubości 1 cm 46 zł, a koszt 1m2 blachy o grubości 0,5 cm 24 zł. Przy jakich wymiarach koszt całkowity zbiornika będzie najmniejszy
Odpowiedź:
Zbiornik o najmniejszym koszcie ma wymiary (około):
[tex]\Large\boxed{\text{4,2}\;[m]\times\text{4,2}\;[m]\times \text{1,42}\;[m]}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przez [tex]x[/tex] oznaczmy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu. Wysokość prostopadłościanu równa jest:
[tex]h=\dfrac{25}{x^2}[/tex]
Teraz koszty.
Wylanie dna:
[tex]x^2\cdot 7[/tex]
Ściany boczne:
[tex]4\cdot x\cdot \dfrac{25}{x^2}\cdot 46[/tex]
Pokrywa górna:
[tex]x^2\cdot 24[/tex]
Łączny koszt wybudowania zbiornika przybiera postać funkcji:
[tex]f(x)=31x^2+\dfrac{4600}{x}=\dfrac{31x^3+4600}{x}[/tex]
Kiedy ta funkcja osiąga wartość minimalna? Wtedy kiedy pochodna jest równa zero.
[tex]f'(x)=\dfrac{93x^2\cdot x-(31x^3+4600)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{62x^3-4600}{x^2}[/tex]
iloraz jest równy zero jeśli dzielna jest zerowa:
[tex]62x^3=4600\\[5]x\approx \text{4,2}\;[m]\\[5]h\approx \text{1,42}\;[m][/tex]