Question

Mamy 6 książek w tym książki A i B. Ustawiamy je losowo na półce jedna obok drugiej. Na ile sposobów można je ustawić tak aby:
a) książki A i B nie stały obok siebie
b) pomiędzy książkami A i B stały 2 inne książki?

Answer 1

Mamy 6 książek, czyli zajmują one 6 miejsc.

• pierwszą książkę można ustawić na jednym z sześciu miejsc, więc mamy 6 możliwości,
• drugą książkę na jednym z 5 dostępnych miejsc (bo jedno już jest zajęte), czyli mamy 5 możliwości,
• trzecią na jednym z pozostałych czterech, czyli 4 możliwości,
• czwartą na jednym z pozostałych trzech, czyli 3 możliwości,
• piątą na jednym z dwóch pozostałych - 2 możliwości,
• szóstą na ostatnim wolnym miejscu - 1 możliwość.

Zatem zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwych losowych ustawień książek jest:  6·5·4·3·2·1 = 720

a)

Mamy 10 możliwości ustawienia książek A i B obok siebie:

ABxxxx, BAxxxx, xABxxx, xBAxxx, xxABxx, xxBAxx, xxxABx, xxxBAx, xxxxAB, xxxxBA

A pozostałe cztery książki możemy ustawić na czterech wolnych miejscach (x) na 4·3·2·1 = 24 sposobów.

Czyli ustawień, w których książki A i B stoją obok siebie jest 10·24=240

720 - 240 = 480 zatem:

ustawić książki A i B tak, aby nie stały obok siebie, można

na 480 sposobów.

b)

Ustawienia, w których pomiędzy książkami A i B stoją dwie inne książki to:

AxxBxx, BxxAxx, xAxxBx, xBxxAx, xxAxxB, xxBxxA,  

Czyli 6 możliwości.

Pozostałe cztery książki możemy ustawić na pozostałych czterech miejscach na 4·3·2·1 = 24 sposobów,

6·24 = 144 zatem:

ustawić książki A i B tak, aby pomiędzy nimi stały dwie inne książki można

na 144 sposoby.