Question

Ma ktoś może pomysł jak to zacząć?

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]x\in\{-\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Założenie:

Funkcja cotangens nie jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc trzeba założyć, że

[tex]x\neq k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}[/tex]

Rozwiązanie:

[tex]6\text{ctg}^2x-4\cos^2x=1\\\\\frac{6\cos^2x}{\sin^2x}-4\cos^2x=1\\\\\frac{6\cos^2x}{1-\cos^2x}-4\cos^2x=1\\\\t=\cos^2x,\quad t\in\left < 0,1\right)\\\\\frac{6t}{1-t}-4t=1\ |*(1-t)\\\\6t-4t(1-t)=1-t\\\\6t-4t+4t^2=1-t\\\\4t^2+3t-1=0\\\\\Delta=3^2-4*4*(-1)=9+16=25\\\\\sqrt\Delta=5\\\\t_1=\frac{-3-5}{2*4}=\frac{-8}{8}=-1\quad\text{odrzucam, bo }-1\notin\left < 0,1\right)\\\\t_2=\frac{-3+5}{2*4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\\\\\cos^2x=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]\cos x=\frac{1}{2}\quad\vee\quad \cos x=-\frac{1}{2}\\\\x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\vee\quad x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\vee\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\vee\quad x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}[/tex]

Zauważmy, że otrzymane odpowiedzi można zapisać prościej.

[tex]x=\frac{\pi}{3}+k\pi\quad\vee\quad x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}[/tex]

Zatem ostatecznie

[tex]x\in\{-\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\}[/tex]